Integrale definito con funzione logaritmica e risoluzione con formula di Newton-Leibniz

[vinx91ct]

Ciao, mi accingo per la prima volta allo studio dell'integrazione delle funzioni e quindi è naturale che io abbia dubbi un po' su tutto (a partire dall'uso del linguaggio). Bando alle ciance e veniamo al dunque. Questo è l'integrale definito che mi dà problemi (dovrebbe essere semplice perché è uno dei primi dell'eserciziario)

\[\int_{-1}^{1} ln (2-x) \ dx\]

Ora, il primo passaggio è semplice (in teoria), perché occorre risolvere semplicemente l'integrale indefinito \[\int ln (2-x) \ dx\]. Il mio problema comincia proprio dall'inizio, come si calcola quell'integrale?

Poi, una volta calcolato quell'integrale si pone

\[\begin{bmatrix}risultato \ \int ln (2-x) \ dx \end{bmatrix}_{-1}^{1}\]

Sostituisco 1 e -1 alle "x" delle n funzioni trovate e trovo la primitiva di (-1) e la primitiva di (1)

\[F (-1) - F(1)\] e ho trovato il risultato.

Quindi, come si risolve quell'integrale indefinito avente come funzione integranda (si dice così vero? ) un logaritmo?

EDIT

Fornisco una bozza del mio svolgimento (errato):

\[1. \ \int_{-1}^{1} ln (2-x) \ dx\]

"Freghiamocene" per il momento di quei numeri in alto e in basso dell'integrale e risolviamo invece l'integrale indefinito con il metodo di risoluzione "per parti":

\[\int ln (2-x) \ dx = \int 1 \cdot \ ln(2-x) \ dx\]

Ora troviamoci f(x) e g(x)

\[\begin{cases}f(x) = 1 \rightarrow F(x) =x \\g(x)= ln(2-x) \rightarrow g'(x)=- \frac{1}{2-x} \end{cases}\]

Una volta fatto ciò, noi sappiamo che il metodo risolutivo degli integrali "per parti" adotta la formula

\[\int f(x) \cdot g(x) \ dx = F(x) \cdot g(x)- \int F(x)\cdot g'(x) \ dx\]

Quindi, riscrivendo al posto delle lettere i nostri numeri troviamo

\[x \cdot ln(2-x)- \int x \cdot \left (- \frac{1}{2-x} \right ) \ dx \ => \ x \cdot ln(2-x)+ \int \left ( \frac{x}{2-x} \right ) \ dx \overset{?}{\rightarrow} x \cdot ln(2-x)+ ln \left | 2-x \right |\]

Non sono per niente sicuro che l'ultimo passaggio sia corretto, comunque poi si passa a considerare quei valori (-1 e 1) che prima avevamo scartato:

\[\left [ x \cdot ln(2-x)+ ln \left | 2-x \right | \right ]_{-1}^{1}\]

e li sostituiamo alla "x":

\[\left [ -1 \cdot ln(2+1)+ ln \left | 2+1 \right | \ \right ] - \left [ 1 \cdot ln(2-1)+ ln \left | 2-1 \right | \ \right ]\]

\[\left [ - ln(3)+ ln \left | 3 \right | \right ] - \left [0+0 \ \right ] = 0\] Il risultato invece è \[[3\cdot ln(3)-2]\]

[maurizio.schirinzi]

Ciao, l'integrale va risolto con la nota tecnica di integrazione per parti introducendo la funzione costante 1 come fattore differenziale:
\[\int {\ln (2 - x)dx} = \int {1 \cdot \ln (2 - x)dx} \]
pensando al fattore differenziale e al fattore finito nel seguente modo:
\[\begin{array}{l}
f' = 1\;\;\; \to \;\;\;f = x\\
g = \ln (2 - x)
\end{array}\]
e applicando la nota formula per parti
\[\int {f' \cdot g} \;dx = [f \cdot g] - \int {f \cdot g'dx} \]
si ha:
\[\int {1 \cdot \ln (2 - x)dx} = [x\ln (2 - x)] - \int {x\frac{1}{{2 - x}}( - 1)dx} = \]
\[ = [x\ln (2 - x)] - \int {\frac{{ - x}}{{2 - x}}dx} = [x\ln (2 - x)] - \int {\frac{x}{{x - 2}}dx} = \]
\[ = [x\ln (2 - x)] - \int {\frac{{x - 2 + 2}}{{x - 2}}dx} = [x\ln (2 - x)] - \int {(1 + \frac{2}{{x - 2}})dx} = \]
\[ = [x\ln (2 - x)] - [\int {1dx} + \int {\frac{2}{{x - 2}}dx} ] = \]
\[ = [x\ln (2 - x)] - [x + 2\int {\frac{1}{{x - 2}}dx} ] = \]
[EDIT] Correzione errore
\[ = [x\ln (2 - x)] - [x + 2\ln (\left| {x - 2} \right|)] = \]
\[ = [x\ln (2 - x)] - [x + 2\ln (\left| {2 - x} \right|)] = \]
\[x\ln (2 - x) - x - 2\ln (x - 2) = (x - 2)\ln (2 - x) - x + c\]
Saluti.


PS: Ho visto che stai usando il codice LaTex in modalità phpBB con i tag:

Codice: Seleziona tutto

[tex] (tag di apertura) e [/tex] (tag di chiusura)

Ti consiglio di usare la nuova più flessibile modalità LaTex MathJax con i tag di apertura e chiusura del codice LaTex rispettivamente:

Codice: Seleziona tutto

\[ (tag di apertura) e \] (tag di chiusura) in sostituzione rispettivamente di [tex] e [/tex]

Questa nuova modalità supporta maggiori funzionalità (come ad esempio lo zoom delle formule e il copia incolla del codice LaTeX per l'uso in altri programmi) oltre ad essere più portabile e facilmente migrabile su altre piattaforme (ad esempio sui dispositivi mobili).

E' possibile che in futuro la modalità LaTex di phpBB verrà abbandonata e disabilitata in questo forum pertanto i tuoi post non risulteranno più visibili con la corretta formattazione! ... Nei post che hai già scritto puoi semplicemente fare la sostituzione dei suddetti tag iniziale e finale senza cambiare tutto il resto e il codice verrà renderizzato correttamente dal motore MathJax.

[vinx91ct]

Innanzi tutto grazie della risposta. Sono ancora all'inizio dell'argomento e perciò ho molti lati oscuri. Ho alcune domande da porti in merito alla tua risposta completa:

1) Ciò che ho scritto (dopo EDIT) è sbagliato oppure no (perché alla fine si arriva allo stesso risultato)? In particolare mi riferisco a questa espressione cruciale per il resto dello svolgimento dell'esercizio\[\begin{cases}f(x) = 1 \rightarrow F(x) =x \\g(x)= ln(2-x) \rightarrow g'(x)=- \frac{1}{2-x} \end{cases}\]

2) Questo mio passaggio non è corretto? \[ x \cdot ln(2-x)- \int x \cdot \left (- \frac{1}{2-x} \right ) \ dx \ => \ x \cdot ln(2-x)+ \int \left ( \frac{x}{2-x} \right ) \ dx\]
Voglio dire, se ho un segno "meno" prima del simbolo di integrale e ancora un altro segno "meno" dopo lo stesso simbolo di integrale, quest'ultimo non può essere "portato fuori" dal simbolo di integrale e diventare "più"?

3) Qual è il ragionamento che hai seguito in questo passaggio (spiegato "terra terra" )?
\[[x\ln (2 - x)] - \int {\frac{{x - 2 + 2}}{{x - 2}}dx} = [x\ln (2 - x)] - \int {(1 + \frac{2}{{x - 2}})dx}\]

4) Ultimo dubbio sul tuo penultimo e ultimo passaggio matematico: come hai raccolto a fattor comune questa espressione, qual è il ragionamento che bisogna seguire?
\[= (x - 2)\ln (2 - x) - x + c\]

P.S. Grazie per avermi dato informazioni sul "nuovo" linguaggio Latex. Io ero rimasto ai tag. Adesso pian piano cambierò tutti i miei post. E scusa se le domande possono sembrare banali (mi accorgo che effettivamente alcune possono davvero esserlo, ma ho aggiunto nella mia firma da quale studi provengo e lì di tutto questo non se ne parla e per lo più sto facendo tutto da autodidatta o meglio, con il tuo aiuto che trovo validissimo: tra video e forum sto imparando tantissimo )

[maurizio.schirinzi]

Integrando la primitiva tra -1 e 1 si ha:
\[[(x - 2)\ln (2 - x) - x]_{ - 1}^1 = [((1 - 2)\ln (1) - 1) - ( - 3\ln (3) + 1)] = [(0 - 1) + 3\ln (3) - 1] = 3\ln (3) - 2\]

Riguardo al passaggio
\[\int {\frac{x}{{x - 2}}dx} = \int {\frac{{x - 2 + 2}}{{x - 2}}dx} = \int {(1 + \frac{2}{{x - 2}})dx} \]
la tecnica è quella della scomposizione di una frazione dove per spezzare una frazione facendo apparire un 1 è necessario avere
\[\frac{{A + B}}{A} = 1 + \frac{B}{A}\]
quindi ho aggiunto e tolto 2 a numeratore per far apparire un termine uguale a quello presente a denominatore.

Riguardo al raccoglimento finale, basta raccogliere il logaritmo tra il primo e il terzo termine:
\[x\ln (2 - x) - x - 2\ln (x - 2) = (x - 2)\ln (2 - x) - x + c\]
inoltre si noti che il valore assoluto sull'argomento del logaritmo non serve nella primitiva perchè l'argomento (2-x) si presuppone positivo da campo di esistenza del logaritmo già dall'inizio dell'esercizio (x<2 dominio della funzione da integrare!)

Saluti.

[vinx91ct]

Ho capito quasi tutto tranne la cosa più "banale" e cioè il raccoglimento a fattor comune. Potresti illustrarmi passo dopo passo cosa hai fatto?

Ad esempio nella mia testa il raccoglimento a fattor comune funziona così: \[x^{2}+x=0\]

raccogliendo a fattor comune si ha

\[x\left ( \frac{x^{2}}{x}+\frac{x}{x} \right )=0\]

e cioè, semplificando

\[x(x+1)=0\]

Con questo calcolo tutto si complica di più \[ x\ln (2 - x) - x - 2\ln (x - 2) \]

anche perché ln(2-x) e ln(x-2) non sono la stessa cosa

Grazie in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Ciao, SI !! ... scusa ma in realtà ho commesso un piccolo errore di trascrizione nel mio primo post dove ho eliminato il valore assoluto nel logaritmo che deriva dal calcolo della primitiva, cioè avrei dovuto scrivere:
\[\ln (\left| {x - 2} \right|) = \ln (\left| {2 - x} \right|) = \ln (2 - x)\] essendo x < 2 da dominio della funzione.

Più precisamente i passaggi dettagliati sono:
\[\begin{array}{l}
...\; = [x\ln (2 - x)] - [x + 2\int {\frac{1}{{x - 2}}dx} ] = \\
= [x\ln (2 - x)] - [x + 2\ln (\left| {x - 2} \right|)] = \\
= [x\ln (2 - x)] - [x + 2\ln (\left| { - ( - x + 2)} \right|)] = \\
= [x\ln (2 - x)] - [x + 2\ln (\left| { - (2 - x)} \right|)] = \\
= [x\ln (2 - x)] - [x + 2\ln (\left| {2 - x} \right|)] = \\
= [x\ln (2 - x)] - [x + 2\ln (2 - x)]
\end{array}\]

A presto.


PS: Ho evidenziato con [EDIT] il post precedente nel punto dell'errore.

[vinx91ct]

Perfetto. Capito

Grazie. A presto.