Ciao, \[\int_0^1 {({e^{(x + 1)4\alpha }} - e)({x^{6\alpha }} + {x^{ - 3\alpha }})} \;dx\]
la funzione ha un punto singolare in x=0 pertanto occorre indagare sul comportamento della funzione nell'intorno destro di zero al variare del parametro $\alpha $.
Si hanno 3 casi:
1) $\alpha > 0\;\;\; \wedge \;\;\;x \to {0^ + }$
la funzione si può riscrivere evidenziando il termine che annullerebbe il denominatore con tendenza all'infinito della funzione nell'intorno destro di zero
\[({e^{(x + 1)4\alpha }} - e)({x^{6\alpha }} + {x^{ - 3\alpha }}) = ({e^{(x + 1)4\alpha }} - e)({x^{6\alpha }} + \frac{1}{{{x^{3\alpha }}}}) = \]
\[ = ({e^{(x + 1)4\alpha }} - e)\frac{{{x^{9\alpha }} + 1}}{{{x^{3\alpha }}}}\mathop \cong \limits_{x \to {0^ + }} ({e^{4\alpha }} - e)\frac{1}{{{x^{3\alpha }}}}\]
ricordando che un integrale del tipo
\[\int\limits_0^b {\frac{1}{{{x^\alpha }}}} \;dx\;\;\;\;\;converge\;per\;\;\;\alpha < 1\]
allora anche il nostro integrale
\[\int\limits_0^1 {({e^{4\alpha }} - e)\frac{1}{{{x^{3\alpha }}}}\;dx} \; = ({e^{4\alpha }} - e)\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^{3\alpha }}}}\;dx} \;\;\;converge\;per\;3\alpha < 1\;\;\; \to \;\;\;\alpha < \frac{1}{3}\]
in questo caso dunque l'integrale converge per \[0 < \alpha < \frac{1}{3}\]
2) $\alpha < 0\;\;\; \wedge \;\;\;x \to {0^ + }$
riscrivendo la funzione in modo analogo a quanto fatto sopra, ma adeguatamente a questo caso si ha
\[({e^{(x + 1)4\alpha }} - e)({x^{6\alpha }} + {x^{ - 3\alpha }}) = ({e^{(x + 1)4\alpha }} - e)(\frac{1}{{{x^{ - 6\alpha }}}} + {x^{ - 3\alpha }}) = \]
\[ = ({e^{(x + 1)4\alpha }} - e)\frac{{1 + {x^{ - 9\alpha }}}}{{{x^{ - 6\alpha }}}}\mathop \cong \limits_{x \to {0^ + }} ({e^{4\alpha }} - e)\frac{1}{{{x^{ - 6\alpha }}}}\]
dunque in questo caso si ha che il nostro integrale
\[\int\limits_0^1 {({e^{4\alpha }} - e)\frac{1}{{{x^{ - 6\alpha }}}}\;dx} \; = ({e^{4\alpha }} - e)\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^{ - 6\alpha }}}}\;dx} \;\;\;converge\;per\; - 6\alpha < 1\;\;\; \to \;\;\;\alpha > - \frac{1}{6}\]
in questo caso dunque l'integrale converge per \[ - \frac{1}{6} < \alpha < 0\]
3) Caso particolare $\alpha = 0\;\;\; \wedge \;\;\;x \to {0^ + }$
sostituendo il valore di $\alpha = 0$ l'integrale diventa
\[\int_0^1 {({e^{(x + 1)4\alpha }} - e)({x^{6\alpha }} + {x^{ - 3\alpha }})} \;dx = \int_0^1 {({e^0} - e)({x^0} + {x^0})} \;dx = \]
\[ = \int_0^1 {(1 - e)} \;dx = (1 - e)[x]_0^1 = 1 - e\]
in questo caso dunque l'integrale converge a 1-e
In definitiva riassumendo in unione i casi precedenti, si ha che l'integrale converge per
\[ - \frac{1}{6} < \alpha < \frac{1}{3}\]
Saluti.
NB: Ti prego di fare un po di pratica con Equation Editor prima di postare altre formule non formattate correttamente in codice LaTex. Troverai qui nel forum una utile guida (
Come si scrivono le formule con l'Equation Editor) e un link ad una pagina demo per fare un po di pratica all'uso del codice LaTex con Equation Editor. Lo User Admin ha provveduto a modificare il codice LaTex errato del tuo post! ... Grazie.
sto svolgendo esercizi sugli integrali generalizzati ma trovo qualche problema nel riuscire ad impostarne alcuni . Ad esempio, non riesco a risolvere questo integrale:
