Sommabilità di una funzione

[nuccio88]

Ciao, non capisco come si studia la sommabilità di una funzione. Ho anche dato uno sguardo alla dispensa che hai proposto ad un altro utente del forum ma mi confonde le idee. Per favore potresti dirmi quali sono i limiti che dovrei calcolare e magari propormi degli esercizi svolti? Quali sono i casi che mi si possono presentare? Sul mio libro non parla di questo argomento purtroppo.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ecco altre dispense sulla teoria e alcuni esercizi svolti che spero siano più chiare:

Integrali Impropri - Richiami Teorici ed Esempi Svolti

Integrali Impropri - Esercizi Svolti

Inoltre sulla questione degli integrali impropri a Valore Principale di Cauchy (che spesso viene trascurata o resa un po confusa) ti consiglio di dare un'occhiata alla seguente importante discussione e relative dispense segnalate:

Definizione di valor principale di Cauchy in un integrale improprio

Saluti.

[nuccio88]

Mi hai mandato il link dell'università di Padova. Mi chiede le credenziali! Comunque io gli integrali impropri li dovrei risolvere tutti sfruttando il teorema dei residui... E la dispensa a cui mi hai indirizzato non lo tratta! Potresti spiegarmi questo argomento sulla sommabilità per favore? Viene trattato male nelle dispense che ho trovato... Vorrei capire praticamente che calcoli dovrei fare.

[maurizio.schirinzi]

Ti ricordo che il Forum non è pensato per svolgere "lezioni private" su interi argomenti che normalmente richiederebbero non meno di un mese di corso standard di Analisi 1 !!

Il servizio di Forum è pensato per postare domande specifiche su particolari dubbi, difficoltà specifiche su Esercizi e Teoria, postando sempre lo svolgimento della propria tentata soluzione, come da regolamento del Forum!

E' ovvio quindi che, in attesa di eventuali futuri video-tutorial su tali argomenti, non posso fare altro che rimandarti su internet segnalando eventualmente qualche dispensa come faccio di solito!

I Link che ti ho indicato sono perfettamente funzionanti senza credenziali, non capisco perchè te le chiede!

Saluti.

[nuccio88]

https://elearning.math.unipd.it/moodle/login/index.php

Ma è questo il link che mi hai inviato?

[maurizio.schirinzi]

No! ... il link è:

Codice: Seleziona tutto

http://elearning.math.unipd.it/moodle/pluginfile.php/8371/mod_resource/content/1/impropri.pdf

cioè cliccando sul link che avevo postato sopra dovrebbe aprirsi automaticamente come di seguito senza chiedere le credenziali:

Integrali Impropri - Richiami Teorici ed Esempi Svolti

ma effettivamente ho notato proprio ora che non fa più accedere rimandando al login !! ... inoltre stranamente mi fa ancora accedere come ospite solo con Chrome e mentre sono connesso con il mio account Google+ ... prova anche tu e fammi sapere!

In alternativa guarda quest'altra dispensa:

Integrali Impropri - Teoria ed Esempi

[nuccio88]

Adesso sono riuscito a scaricare il file. Grazie. Spero di riuscire a capirci qualcosa da qui.

[nuccio88]

Ciao, ho letto su una dispensa che:

Se la funzione dovesse risultare sommabile, l'integrale in questione, calcolato in valore principale, coinciderà con quello di Lebesgue.

Quindi se studio la sommabilità e la funziona è sommabile (il mio prof. lascia sempre funzioni sommabili in sede d'esame), posso procedere con il calcolo del valore principale dell'integrale? Io gli integrali devo tutti risolverli con il teorema dei residui.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, sulla dispensa che ti ho indicato c'è scritto (in fondo):

"Se una funzione e integrabile (sommabile) in senso generalizzato allora il valore principale dell'integrale coincide con l'integrale generalizzato."

Per quanto riguarda gli integrali risolti con il metodo dei residui ecco un'altra interessante dispensa ricca di esempi e spiegazioni:

Teorema dei Residui - Applicazioni

Saluti.

[nuccio88]

Grazie per la dispensa, ma il dubbio è il seguente: sia che la funzione sia sommabile o meno, posso direttamente calcolare il valore principale dell'integrale, anche se l'esercizio mi richiede di calcolare l'integrale, visto che comunque c'è questa coincidenza di risultati?

[maurizio.schirinzi]

Mi sembra di capire che non hai letto e studiato bene la dispensa che ti ho segnalato sulla questione del valor principale di Cauchy!!

Nella dispensa c'è spiegato e dimostrato chiaramente che se l'integrale improprio (non a valor principale) esiste allora esiste e coincide con quello a valor principale ma il viceversa non è vero!!

Mi sembra ovvio dunque che se ti viene esplicitamente richiesto di calcolare quello a valor principale lo devi calcolare e basta a prescindere dall'altro, ma se ti viene richiesto se la funzione è integrabile (sommabile) in senso generalizzato (non a valore principale) non puoi calcolare l'integrale a valor principale e dire che coincide con quell'altro deducendo da ciò l'integrabilità in generale!!

[nuccio88]

Questo lo avevo già capito. Io ti chiedevo un'altra cosa... Se mi viene chiesto soltanto di calcolare l'integrale, verifico la sommabilità, ed è sommabile allora in questo caso posso calcolare il valore principale per calcolare l'integrale? Negli esercizi svolti dai miei colleghi loro calcolano sempre il valore principale in tutti gli esercizi! Per questo faccio questa domanda.

[maurizio.schirinzi]

Tutto dipende molto da come il tuo Prof. ha trattato l'argomento a lezione!

Spesso infatti c'è un po di confusione su questa questione del valor principale o addirittura carenze didattiche sulla questione da parte di alcuni insegnanti, che tendono a semplificare un pò troppo la trattazione di alcuni argomenti e che pertanto fanno calcolare il limite sempre in modo simmetrico (e quindi a valor principale) ignorando il problema dell'integrabilità più generale.

E' possibile dunque che i tuoi colleghi calcolano l'integrale in quel modo perchè gli è stato detto di fare sempre cosi, senza neanche sapere che quello è l'integrale a valor principale di Cauchy.

Quindi verifica bene come le cose sono state trattate a lezione!

Saluti.