Distinguere il tipo di integrale: sommabile in senso improprio o in valore principale

[nuccio88]

Ciao, il mio prof. Vuole che prima di effettuare i calcoli dell'integrale venga studiata la sommabilitá così da poterne determinare il tipo. Ovvero dovrei dire se si tratta dell'integrale di Lebesgue, di un integrale improprio oppure se è calcolabile solo in valore principale. Tutto dipende dai risultati dei limiti ottenuti? Come funziona?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, mi pare che di questa questione della sommabilità e del valore principale ne avevamo già parlato abbondantemente proprio con te nei seguenti topic precedenti:

Sommabilità di una funzione

Valore principale di un integrale improprio

[nuccio88]

Ciao Maurizio, nella discussione aperta nell'altro mio post non c'è la risposta al mio dubbio. Cerco di esprimermi meglio. Il mio prof. allo scritto di Analisi 3 lascia degli integrali che vanno risolti sfruttando il teorema dei residui. Però, prima di effettuare i dovuti calcoli, dovrei anche effettuare lo studio della sommabilità all’infinito e nelle discontinuità della funzione sotto il segno di integrale, allo scopo di classificare l’integrale stesso e capire, in particolar modo, se si tratta di un integrale di Lebesgue, di un integrale improprio o se è possibile calcolarlo solo in valor principale. Di seguito riporto tre integrali che ho già risolto tutti in valor principale:

\( \int_0^{\infty } \frac{\log (x)}{x^2+x+1} \, dx \)

\( \int_0^{\infty } \frac{\log (x)}{\sqrt{x} \left(x^3+1\right)} \, dx \)

\( \int_0^{\infty } \frac{\sqrt{x} \log (x)}{x^2+1} \, dx \)

Ho notato che i miei colleghi studiano la sommabilità nella seguente maniera (a mio parere, incompleta):
- calcolano dei limiti (applicando i criteri di sommabilità);
- trovano i valori di alpha che assicurano la sommabilità;
- affermano che la funzione è sommabile, senza aggiungere altro.
Quindi mi sembra incompleto lo studio.

Una volta fatto il calcolo dei limiti, la classificazione dell’integrale come si fa? Spero che tu possa risolvere i miei dubbi, facendomi vedere magari praticamente gli integrali sopra riportati a quale categoria appartengono. Tra l'altro lo scritto dovrebbe essere a giorni .. Grazie!

[maurizio.schirinzi]

Ciao, da come sono impostati gli esercizi che hai postato è chiaro che si tratta di "normalissimi" integrali generalizzati (o impropri) in R la cui convergenza va discussa con i soliti criteri di convergenza (come si faceva in Analisi 1) !! ... dunque il procedimento adottato dai tuoi colleghi, che consiste nello studio del comportamento asintotico in prossimità dei punti "problematici" della funzione, è assolutamente corretto! ...

Questo tipo di integrali non vanno "risolti" in quanto non è possibile trovare la primitiva (per poi fare i limiti) ma occorre solo studiare la convergenza o divergenza!

Ti riporto lo studio del primo integrale (per gli altri si procede in modo analogo):
\[\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln (x)}}{{{x^2} + x + 1}}dx} \]
analizzando il comportamento asintotico della funzione in prossimità del punto zero e del punto infinito si ha
\[x \to {0^ + }\;\;\;\frac{{\ln (x)}}{{{x^2} + x + 1}} \sim \frac{{\ln (x)}}{1} = \ln (x)\]
\[\int\limits_0^b {\ln (x)dx} = converge!\]
\[x \to + \infty \;\;\;\frac{{\ln (x)}}{{{x^2} + x + 1}} \sim \frac{{\ln (x)}}{{{x^2}}}\]
\[\int\limits_a^{ + \infty } {\frac{{\ln (x)}}{{{x^2}}}} = converge!\]
Si noti che gli integrali convergenti suddetti convergono come integrali "notevoli" o se preferisci puoi calcolarli con la primitiva e poi fare il solito limite!

Pertanto ne deriva che, per il criterio del confronto asintotico, anche il nostro integrale converge in senso improprio e quindi risulta sommabile secondo Riemann e dunque anche secondo Lebesgue (ti ricordo che se una funzione è sommabile secondo Riemann lo sarà anche secondo Lebesgue e i due integrali coincidono!)

A quest'ultimo proposito ti riporto una interessante dispensa sul confronto tra i due tipi di integrali e i loro legami teorici:

Confronto tra l’integrale di Lebesgue e l’integrale di Riemann


Saluti.