Ciao, \[\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{x^\alpha }}}{{\ln (\cos (x))}}} \;dx\]
per studiare la convergenza dell'integrale occorre analizzare il comportamento asintotico della funzione integranda nell'intorno dei punti problematici che sono i due estremi di integrazione:
- nell'intorno di zero la cosa è molto semplice, infatti
\[x \to {0^ + }\;\;\;\;\;\frac{{{x^\alpha }}}{{\ln (\cos (x))}} \sim \frac{{{x^\alpha }}}{{\ln (1 - \frac{1}{2}{x^2})}} = \frac{{{x^\alpha }}}{{\frac{{\ln (1 + ( - \frac{1}{2}{x^2}))}}{{( - \frac{1}{2}{x^2})}}( - \frac{1}{2}{x^2})}} \sim \frac{{{x^\alpha }}}{{1 \cdot ( - \frac{1}{2}{x^2})}} = - 2\frac{{{x^\alpha }}}{{{x^2}}} = - 2\frac{1}{{{x^{2 - \alpha }}}}\]
che converge per \[2 - \alpha < 1\;\;\; \to \;\;\;\alpha > 1\]
- nell'intorno di $\frac{\pi }{2}$ la cosa si complica un pò; prima di tutto approssimiamo la funzione asintoticamente
\[x\; \to \;{\frac{\pi }{2}^ - }\;\;\;\;\;\frac{{{x^\alpha }}}{{\ln (\cos (x))}} = \frac{{{x^\alpha }}}{{\ln (sen(\frac{\pi }{2} - x))}} \sim \frac{{{{(\frac{\pi }{2})}^\alpha }}}{{\ln (sen(\frac{\pi }{2} - x))}} \sim \frac{{{{(\frac{\pi }{2})}^\alpha }}}{{\ln (\frac{\pi }{2} - x)}} = {(\frac{\pi }{2})^\alpha }\frac{1}{{\ln (\frac{\pi }{2} - x)}}\]
poi analizziamo il seguente integrale improprio equivalente nell'intorno di $\frac{\pi }{2}$
\[\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{1}{{\ln (\frac{\pi }{2} - x)}}} \;dx\]
di cui non riusciamo a calcolare una primitiva per calcolare poi il limite dell'integrale improprio; tuttavia facciamo un cambio di variabile e procediamo ugualmente per sostituzione sull'integrale improprio
\[\ln (\frac{\pi }{2} - x) = t\;\;\; \to \;\;\;\frac{\pi }{2} - x = {e^t}\;\;\; \Rightarrow \;\;\;t \to - \infty \]
\[\frac{\pi }{2} - x = {e^t}\;\;\; \to \;\;\;\; - dx = {e^t}dt\;\;\; \to \;\;\;\;dx = - {e^t}dt\]
quindi l'integrale diventa
\[\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{1}{{\ln (\frac{\pi }{2} - x)}}} \;dx = \int\limits_{\ln (\pi /2)}^{ - \infty } {\frac{1}{t}} \;( - {e^t})dt = - \int\limits_{\ln (\pi /2)}^{ - \infty } {\frac{1}{t}} \;{e^t}dt = \int\limits_{ - \infty }^{\ln (\pi /2)} {\frac{1}{t}} \;{e^t}dt = \int\limits_{ - \infty }^{\ln (\pi /2)} {\frac{1}{{t\,{e^{ - t}}}}} \;dt \le \int\limits_{ - \infty }^{\ln (\pi /2)} {\frac{1}{{{e^{ - t}}}}} \;dt\;\;\;(converge!)\]
essendo un integrale notevole con l'esponenziale a denominatore, e converge a prescindere da $\alpha $.
Dunque ricordando la condizione ricavata prima per $\alpha $ si può concludere che l'integrale iniziale converge complessivamente per $\alpha > 1$
Saluti.
NB: Ti prego in futuro di postare sempre una bozza della tua tentata soluzione evidenziando le tue difficoltà!
Inviato: 14/08/2013, 10:48