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Salve. sono alle prime armi con gli integrali generalizzati e non riesco proprio a risolverne alcuni del tipo
\[\int_{1}^{2} \sqrt{x-1}/(\sqrt[3]{x}-1)\]
o anche
\[\int_{-1}^{0}(x^4+x)/\sqrt{1-x^2}\]

Dovrei stabilire se convergono o meno.. Non riesco a capire se devo integrare o se posso usare qualche stima o confronto asintotico.. che metodo si usa? C'è una sezione del sito dedicata a questi esercizi?grazie!!

Ciao,
\[\int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt[3]{x} - 1}}dx} \]
poichè la funzione ha un problema di dominio in x=1, occorre analizzare il comportamento asintotico della funzione nell'intorno destro di 1 effettuando prima alcune manovre algebriche
\[x \to {1^ + }\]
\[\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt[3]{x} - 1}} = \frac{{\sqrt {x - 1} (\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}{{(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}} = \frac{{\sqrt {x - 1} (\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}}{{x - 1}} = \]
\[ = \frac{{{{(x - 1)}^{1/2}}}}{{{{(x - 1)}^1}}}(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1) = \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}{{{{(x - 1)}^{1/2}}}} \simeq 3\frac{1}{{{{(x - 1)}^{1/2}}}}\]
ricordando che integrali del tipo
\[\int\limits_{{x_0}}^b {\frac{1}{{{{(x - {x_0})}^\alpha }}}} \;dx\;\;\;converge\;per\;\alpha < 1\]
allora
\[x \to {1^ + }\;\;\;\int\limits_1^2 {3\frac{1}{{{{(x - 1)}^{1/2}}}}dx} = 3\;\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{{(x - 1)}^{1/2}}}}dx} \;\;\;converge\]
dunque converge anche l'integrale di partenza!


Analogamente si procede per l'altro integrale
\[\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{x^4} + x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} \]
\[x \to - {1^ + }\]
\[\frac{{{x^4} + x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{x({x^3} + 1)}}{{\sqrt {(1 - x)(1 + x)} }} = \frac{{x(x + 1)({x^2} - x + 1)}}{{\sqrt {(1 + x)} \sqrt {(1 - x)} }} = \]
\[ = \frac{{x{{(x + 1)}^1}({x^2} - x + 1)}}{{{{(x + 1)}^{1/2}}\sqrt {(1 - x)} }} = \frac{{x({x^2} - x + 1)}}{{{{(x + 1)}^{ - 1/2}}\sqrt {(1 - x)} }}\mathop \simeq \limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}\frac{1}{{{{(x + 1)}^{ - 1/2}}}}\]
\[x \to - {1^ + }\;\;\;\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}\frac{1}{{{{(x + 1)}^{ - 1/2}}}}dx} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{1}{{{{(x - ( - 1))}^{ - 1/2}}}}dx} \;\;\;converge\]

Saluti.

Grazie!!! Sei un Gesù della matematica

Ciao! Ma per applicare il criterio di convergenza con alpha = 1/2 la funzione non dovrebbe essere compresa tra 0 e 1? Invece in questo caso la funzione tende a -1....


Per esempio in questo caso (che non è altro che il primo integrale postato da Antonio ma con il denominatore uguale a: x^3/2 - 1

integrale da 1 a 2 di 1/(x-1)^1/2 dx si può dire che converge anche se tende a 1 e non a 0?

Grazie mille! Non ho potuto usare equation editor perchè mi si crashava continuamente la pagina e ho dovuto riaprirla.....

Ciao Rokito, non capisco cosa intendi quando dici che la funzione deve essere "compresa tra 0 e 1" e poi dopo quando dici che la funzione "tende a 1 e non a 0" !! ... Potresti spiegarti meglio?

Riguardo all'Equation Editor pare che in questi giorni ci sono dei problemi sul server di servizio del motore di calcolo, speriamo vengano risolti al più presto. Nel frattempo puoi postare direttamente il codice LaTex nel post generandolo con un'altro editor esterno come MathType avendo cura di aggiungere (se mancanti) i caratteri di inizio $\[$ e fine codice $\]$.

Probabilnente sono stato io a intasare il server
Ho risolto il mio dubbio riguardo l'integrale, ti ringrazio lo stesso per l'attenzione!

A presto