Problemoni con integrali generalizzati parametrici

[Frozzy10]

ciao ragazzi,
qualcuno può aiutarmi a risolvere questi??

\[\int [arctan(t^\alpha )]/[1+t^\beta ] \] tra 0 a + infinito con alpha e beta appartenenti a reali positivi.

\[\int_{0}^{+inf} [arctanx]/[x^\alpha (1+x)]\]

e come ultimo uno che a me fa veramente paura....
\[\int_{3}^{+inf} [\left | cosx \right |\left | senx \right |] /[(x+2)^\alpha (x^2-9)\left | x-3\right | ] \] PS: il modulo x-3 è elevato alle 2beta +3

grazie mille, anche se riuscite a darmi una mano in parte!

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ecco le soluzioni dei primi due integrali ...
\[\begin{array}{l}
\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{arctg({x^\alpha })}}{{1 + {x^\beta }}}} \;dx\;\;\;\;\;\alpha ,\beta \in {R^ + }\\
x \to 0\;\;nessun\;problema\\
x \to + \infty \;\;\;:\;\;\;\frac{{arctg({x^\alpha })}}{{1 + {x^\beta }}} \approx \frac{{\frac{\pi }{2}}}{{1 + {x^\beta }}} \approx \frac{\pi }{2}\frac{1}{{{x^\beta }}}\;\;\; \to \;\;\int\limits_a^{ + \infty } {\frac{1}{{{x^\beta }}}} \;dx\;\;\;converge\;per\;\;\beta > 1
\end{array}\] convergenza complessiva dell'integrale iniziale : \(\forall \alpha \in {R^ + } \wedge \beta > 1\)
\[\begin{array}{l}
\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{arctg(x)}}{{{x^\alpha }(1 + x)}}} \;dx\;\;\;\;\;\alpha \in {R^ + }\\
x \to 0\;\;\;:\;\;\;\frac{{arctg(x)}}{{{x^\alpha }(1 + x)}} \approx \frac{x}{{{x^\alpha }}} = \frac{1}{{{x^{\alpha - 1}}}}\;\;\; \to \;\;\int\limits_0^b {\frac{1}{{{x^{\alpha - 1}}}}} \;dx\;\;\;converge\;per\;\;\alpha - 1 < 1\;\; \to \;\;\alpha < 2\\
x \to + \infty \;\;\;:\;\;\;\frac{{arctg(x)}}{{{x^\alpha }(1 + x)}} \approx \frac{{\frac{\pi }{2}}}{{{x^{\alpha + 1}}}} = \frac{\pi }{2}\frac{1}{{{x^{\alpha + 1}}}}\;\;\; \to \;\;\int\limits_a^{ + \infty } {\frac{1}{{{x^{\alpha + 1}}}}} \;dx\;\;\;converge\;per\;\;\alpha + 1 > 1\;\; \to \;\;\alpha > 0
\end{array}\] convergenza complessiva dell'integrale iniziale : \(0 < \alpha < 2\)

ti lascio ancora riflettere con l'ultimo integrale ... prova a impostare una traccia di soluzione sulla base dei ragionamenti analoghi ai primi 2 ...
poi ne parleremo!

saluti.

PS: Un suggerimento per scrivere le formule più comodamente invece che con l'equation editor integrato nel forum: MathType è un ottimo software per scrivere le formule e poi copiare il relativo codice LaTex direttamente qui nel forum.

[Frozzy10]

ciao! grazie mille! veramente mi sembra di aver capito quelli più "facili" mentre il terzo non molto
allora nel caso per \( x\rightarrow 3\) al denominatore ottengo \( \alpha < -4-2\beta \) corretto?
mentre al numeratore 2, utilizzando gli sviluppi di taylor, cioè una costante che a me non interessa...

per il caso a \( x\rightarrow +\infty \) \( \;\; \beta >\frac{-4-\alpha }{2} \)

corretto? non penso molto... il problema è nel troppi operandi... seno e coseno al numeratore in modulo non so come trattarli, perchè innanzitutto la loro primitiva non è limitata, se puoi aiutarmi, grazie.
grazie veramente tanto per l'aiuto

[maurizio.schirinzi]

Ciao, va bene per x-->+infinito ma non per x-->3 ... ecco la soluzione:
\[\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{{\left| {\cos (x)} \right|\left| {sen(x)} \right|}}{{{{(x + 2)}^\alpha }({x^2} - 9){{\left| {x - 3} \right|}^{2\beta + 3}}}}} \;dx\;\;\;\;\;\alpha ,\beta \in {R^ + }\]
\[\begin{array}{l}
x \to {3^ + }\;\;\;:\;\;\;\frac{{\left| {\cos (x)} \right|\left| {sen(x)} \right|}}{{{{(x + 2)}^\alpha }({x^2} - 9){{\left| {x - 3} \right|}^{2\beta + 3}}}} \approx \frac{{\left| {\cos (3)} \right|\left| {sen(3)} \right|}}{{{{(5)}^\alpha }(x + 3)(x - 3){{(x - 3)}^{2\beta + 3}}}} \approx \frac{{\left| {\cos (3)} \right|\left| {sen(3)} \right|}}{{{{(5)}^\alpha }(6)(x - 3){{(x - 3)}^{2\beta + 3}}}} = \\
= \frac{{\left| {\cos (3)} \right|\left| {sen(3)} \right|}}{{{{(5)}^\alpha }(6)}}\frac{1}{{{{(x - 3)}^{2\beta + 4}}}} = k\frac{1}{{{{(x - 3)}^{2\beta + 4}}}}\;\;\; \to \;\;\int\limits_3^b {\frac{1}{{{{(x - 3)}^{2\beta + 4}}}}\;} \;dx
\end{array}\] \[converge\;per\;\;2\beta + 4 < 1\;\; \to \;\beta < - \frac{3}{2}\;\]
\[x \to + \infty \;\;\;:\;\;\;\frac{{\left| {\cos (x)} \right|\left| {sen(x)} \right|}}{{{{(x + 2)}^\alpha }({x^2} - 9){{\left| {x - 3} \right|}^{2\beta + 3}}}} \approx \frac{k}{{{{(x)}^\alpha }({x^2}){x^{2\beta + 3}}}} = \frac{k}{{{x^{\alpha + 2\beta + 5}}}}\;\;\; \to \;\;\int\limits_a^{ + \infty } {\frac{1}{{{x^{\alpha + 2\beta + 5}}}}\;} \;dx\] \[converge\;per\;\;\alpha + 2\beta + 5 > 1\;\;\; \to \;\;\;\alpha > - 2\beta - 4\]
complessivamente l'integrale converge per:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\beta < - \frac{3}{2}\\
\alpha > - 2\beta - 4
\end{array} \right.\]
saluti.

PS: Ti prego di impegnarti un po di più per scrivere correttamente le formule con l'equation editor o con il programma che ti ho segnalato MathType (o analogo compatibile LaTex), in modo che siano più comprensibili a tutti gli utenti del forum a cui questi post potrebbero essere utili! Grazie.

[Frozzy10]

Scusami, ma sono senza pc e scrivo da ipad! Appena ho disponibile un pc aggiorno il post!

Ti ringrazio infinitamente, cercherò di aiutare il forum, anche con magari esercizi da me svolti se possono essere utili. Grazie!