Teorema di unicità del limite (enunciato e dimostrazione)

[piero87]

Ciao a tutti
Mi potete aiutare a rispondere a questa domanda?

enunciare e dimostrare il teorema di unicità del limite finito di una funzione f(x) per X che tende a zero.

grazie mille

[maurizio.schirinzi]

Ciao, come da regolamento è necessario postare almeno una traccia della propria tentata soluzione evidenziando i dubbi, cosa non si è capito e le proprie difficoltà incontrate! ... Non possiamo rispondere a quesiti globali o generali!

Grazie.

[piero87]

Ciao a tutti
Mi potete aiutare a rispondere a questa domanda?

enunciare e dimostrare il teorema di unicità del limite finito di una funzione f(x) per X che tende a zero.

grazie mille

Non riuscivo a modificare la domanda, mi sono accorto che non era completa.

Il testo della domanda mi dice di enunciare il teorema dell'unicità del limite e di fare un esempio di una funzione che non ha limite.

Il teorema è giusto :
Se \[\lim_{x\rightarrow x0}f(x)=L\] allora il limite è unico.

Mi potete dire quale può essere una funzione che non ha limite ?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ecco un paio di semplici limiti che non esistono:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } sen(x) = \not \exists \]
Si noti che il seno, quando il suo argomento (angolo) gira infinite volte sulla circonferenza goniometrica, continua ad oscillare in eterno tra -1 e 1, senza mai assumere una tendenza stabile definitiva verso un valore determinato (finito o infinito che sia); quando accadono queste cose il limite non può esistere! ... Un limite per esistere ha sempre "bisogno" di "vedere" una tendenza stabile definitiva della funzione verso un valore finito o infinito.

Un altro esempio di limite che non esiste è il seguente:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sqrt x = \sqrt {{0^ - }} = \not \exists \]
Infatti quando x tende a zero per valori piccoli negativi la radice non può eistere e dunque il limite non esiste!


Saluti.

[piero87]

Perfetto
Grazie mille