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Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un'aiuto per lo svolgimento di un esercizio riguardo il teorema del confronto fra 3 funzioni. Vi propongo l'esercizio:

\[\LARGE \lim_{x\mapsto \infty } \frac{x+sinx}{x^2+1} \]


Per il teorema del confronto, \[\LARGE f(x)\leq g(x)\leq h(x) => f(x)\leq \frac{x+sinx}{x^2+1}\leq h(x)\]

Ora , cerco h(x) \[\LARGE h(x)\geq \frac{x+sinx}{x^2+1} => x+sinx\leq x^2+1\leq 2x\]

La mia domanda è, perchè poniamo \[\LARGE x^2+1\leq 2x\]
?

Secondo quanto detto dal mio prof. di analisi, "il \[\LARGE \leq\] posto prima di 2x è vero per \[\LARGE \LARGE x\geq1\] ovvero da un certo punto in poi il lim è \[\LARGE {x\mapsto \infty }\] "

Non riesco a capire.. come si fa ad arrivare ad affermare ciò?

Ciao,

il ragionamento del tuo prof. essendo a mio parere spiegato malissimo porta anche ad un errore probabilmente (spero) dovuto al fatto che non vi siete capiti!
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + sen(x)}}{{{x^2} + 1}}\]
innanzi tutto occorrerà distinguere il caso +infinito da -infinito per ovvi motivi di segno legati alle disuguaglianze del teorema del confronto.
Ragionando per x--> +infinito possiamo affermare che per x abbastanza grandi (positivi) valgono le seguenti disuguaglianze:
\[0\leq \frac{{x + sen(x)}}{{{x^2} + 1}}\leq \frac{{x + x}}{{{x^2} + 1}}=\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\]
infatti la prima disuguaglianza è ovvia perchè essendo x molto grande positivo l'espressione della funzione di partenza è sicuramente maggiore-uguale di zero; mentre la seconda disuguaglianza è valida se si pensa che il sen(x) per qualsiasi x si mantiene sempre <=1 (limitato) per cui è lecito pensare di sostituirlo con una quantità sicuramente più grande di esso cioè una semplice x (essendo x molto grande).
In questo modo riusciamo a "maggiorare" la funzione originale con l'ultima della catena di disequazioni di cui sopra... ne segue pertanto che essendo per x molto grandi positivi:
\[0\leq \frac{{x + sen(x)}}{{{x^2} + 1}}\leq \frac{{2x }}{{{x^2} + 1}}\]
e poichè il limite della prima funzione (costante 0) fa zero e il limite dell'ultima funzione razionale fratta della catena fa anch'esso zero (trascurando 1 e semplificando la x) per il teorema del confronto anche il limite della funzione centrale (la nostra funzione) fa anch'esso zero!
Per x--> -infinito occorre rovesciare tutti i versi delle disuguaglianze e si arriva alla stessa conclusione.

La disuguaglianza da te postata:
\[{x^2} + 1 \le 2x\]
è sostanzialmente sbagliata perchè riscrivendola cosi:
\[{x^2} -2x + 1 \leq 0\]
cioè
\[(x - 1)^{2} \leq 0\]
essendo un quadrato di un binomio come fa ad essere <= di zero? ... anzi per x>1 come dice il tuo prof il quadrato del binomio sarebbe solo positivo!

saluti

Era molto molto più semplice di quanto pensassi... grazie alla sua spiegazione ovviamente! La ringrazio, cordiali saluti