Limite esponenziale a base variabile con funzione logaritmica e seno

[vinx91ct]

Ciao, non sono riuscito a calcolare questo limite. Qual è il procedimento corretto?

\[\lim_{x\rightarrow -2}[1+ln(3+x)]^{\frac{1}{sen(\pi x)}}\]

Grazie in anticipo

[maurizio.schirinzi]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {[1 + ln(3 + x)]^{\frac{1}{{sen(\pi x)}}}} = [{1^\infty }]\]
La via più comoda per evitare le opportune manipolazioni più lunghe dell'applicazione dei limiti notevoli oppure l'aplicazione dei più potenti gli sviluppi di Taylor si può convertire la forma indeterminata in una compatibile con la regola di De L'Hopital e applicare quella famosa regola; dunque si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {[1 + ln(3 + x)]^{\frac{1}{{sen(\pi x)}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {e^{\ln ({{[1 + ln(3 + x)]}^{\frac{1}{{sen(\pi x)}}}})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {e^{\frac{1}{{sen(\pi x)}}\ln (1 + ln(3 + x))}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {e^{\frac{{\ln (1 + ln(3 + x))}}{{sen(\pi x)}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\ln (1 + ln(3 + x))}}{{sen(\pi x)}}}} = \,*\]
calcolando quindi il limite del solo esponente con De L'Hopital si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\ln (1 + ln(3 + x))}}{{sen(\pi x)}}\mathop = \limits_H \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\frac{1}{{1 + ln(3 + x)}}\frac{1}{{3 + x}}}}{{\cos (\pi x)\,\pi }} = \frac{1}{{\cos ( - 2\pi )\,\pi }} = \frac{1}{\pi }\]
da cui il risultato del limite iniziale sarà:
\[* = {e^{\frac{1}{\pi }}} = \sqrt[\pi ]{e}\]

Saluti.