Calcolo di 2 limiti in forma indeterminata

[rossini128]

Buongiorno, sono alle prese con questi due esercizi che mi fanno un po':x , potreste aiutarmi?

lim x tende +infinito (1-x)^2x/(1+x^2)^x

e

limite x tende e (lnx^2)-2/(x-e)

Scusate e vi ringrazio in anticipo x l'aiuto

[Admin]

Ciao, ti ricordiamo che in questo Forum, come da regolamento, è obbligatorio l'uso di Equation Editor per la scrittura delle formule matematiche !! ...

Al seguente link troverai ulteriori informazioni su come si usa Equation Editor e relativa DEMO per esercitarti:

Obbligo di usare Equation Editor per la scrittura delle formule matematiche

Ti preghiamo di ri-editare il tuo post e correggere la formattazione LaTex delle formule al fine di consentire la gestione della tua richiesta!

Inoltre ti preghiamo di postare sempre nella giusta categoria del Forum! ... l'esercizio riguarda il "Calcolo di Limite" o la "Verifica di Limite" ?

Grazie per la collaborazione.

[rossini128]

\[\lim x \mapsto \exp (\ln x^2-2)/(x-\exp )\]
\[\lim x \mapsto inf (1-x)^2^x)/(1+x^2)^x\]

[maurizio.schirinzi]

Ciao, i 2 limiti non sono molto chiari per come sono scritti: oltre a non essere entrambi formattati correttamente con il codice LaTex, il secondo in particolare sembra non esistere neanche perchè la base di un esponenziale non può essere negativa:

I limiti che volevi scrivere sono i seguenti?

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\ln ({x^2}) - 2}}{{x - e}} = [\frac{0}{0}]\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{{(1 - x)}^{2x}}}}{{{{(1 + {x^2})}^x}}} = \frac{{{{(1 - \infty )}^{ + \infty }}}}{{{{( + \infty )}^{ + \infty }}}} = \frac{{{{( - \infty )}^{ + \infty }}}}{{{{( + \infty )}^{ + \infty }}}} = \frac{{\not \exists }}{{ + \infty }} = \not \exists \]

Forse hai copiato male il testo del secondo limite o era proprio cosi?

Riguardo il primo limite invece (se era scritto come sopra) si avrà con un cambio di variabile:
\[x - e = t\;\;\; \to \;\;\;x = e + t\] da cui segue che \[x \to e\;\; \Rightarrow \;\;t \to 0\]
risulta quindi
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\ln ({x^2}) - 2}}{{x - e}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{2\ln (x) - 2}}{{x - e}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2\ln (e + t) - 2}}{t} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2[\ln (e + t) - 1]}}{t} = 2\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln (e + t) - 1}}{t} = 2\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln (e + t) - \ln (e)}}{t} = \]
\[ = 2\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln (\frac{{e + t}}{e})}}{t} = 2\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln (1 + \frac{t}{e})}}{t} = 2\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln (1 + \frac{t}{e})}}{{e\frac{t}{e}}} = \]
\[ = \frac{2}{e}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln (1 + \frac{t}{e})}}{{\frac{t}{e}}} = \frac{2}{e} \cdot 1 = \frac{2}{e}\]
il cui risultato segue dal noto limite notevole
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\ln (1 + z)}}{z} = 1\;\;\;(z = \frac{t}{e} \to 0\;\;\;con\;\;\;t \to 0)\]

Ti prego di esercitarti bene con l'equation editor al seguente indirizzo per scrivere correttamente i post in questo forum:

Demo Equation Editor

Inoltre la categoria corretta per questo tipo di esercizi è "Calcolo dei Limiti" e non "Verifica dei Limiti" !! ... Lo User Admin provvederà allo spostamento di questo topic. Ti prego inoltre di postare ogni esercizio di tipo diverso in un topic diverso. Grazie.

Saluti.

[rossini128]

Grazie mille molto esaustivo