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Salve, sono un paio di volte al giorno che cerco di capire come svolgere questi limiti, ma niente
Spero possiate aiutarmi.

\[\lim (x\rightarrow 0) \frac{e^{\sqrt(1-cosx)}-1}{|x|}\]

\lim (x\rightarrow +\infty) \frac{x-\sqrt{x^2+2e^{3x}}{e^{x^2}-4e^{-2x^2}}

Grazie a chiunque possa aiutarmi

Ciao, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\sqrt {1 - \cos (x)} }} - 1}}{{\left| x \right|}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right]\]
per il secondo limite risulta illeggibile la formattazione della formula ... ma sembrerebbe essere il seguente ...
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 2{e^{3x}}} }}{{{e^{{x^2}}} - 4{e^{ - 2{x^2}}}}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]\]
Per il primo limite abbiamo:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\sqrt {1 - \cos (x)} }} - 1}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\sqrt {1 - \cos (x)} }} - 1}}{{\left| x \right|}}\frac{{\sqrt {1 - \cos (x)} }}{{\sqrt {1 - \cos (x)} }} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\sqrt {1 - \cos (x)} }} - 1}}{{\sqrt {1 - \cos (x)} }}\mathop { \cdot \lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 - \cos (x)} }}{{\left| x \right|}} = \]
poichè
\[\sqrt {1 - \cos (x)} \to 0\;\;\;per\;\;x \to 0\]
il primo limite è in configurazione di limite notevole e dunque
\[ = 1 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 - \cos (x)} }}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt {\frac{{1 - \cos (x)}}{{{x^2}}}} = \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Per il secondo limite, volendo fare tutti i passaggi algebrici senza usare le più veloci approssimazioni asintotiche, si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 2{e^{3x}}} }}{{{e^{{x^2}}} - 4{e^{ - 2{x^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{(x - \sqrt {{x^2} + 2{e^{3x}}} )}}{{{e^{{x^2}}} - 4{e^{ - 2{x^2}}}}}\frac{{(x + \sqrt {{x^2} + 2{e^{3x}}} )}}{{(x + \sqrt {{x^2} + 2{e^{3x}}} )}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - {x^2} - 2{e^{3x}}}}{{{e^{{x^2}}}(1 - \frac{{4{e^{ - 2{x^2}}}}}{{{e^{{x^2}}}}})(x + \sqrt {{x^2} + 2{e^{3x}}} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{e^{3x}}}}{{{e^{{x^2}}}(1 - \frac{4}{{{e^{3{x^2}}}}})(x + \sqrt {{x^2} + 2{e^{3x}}} )}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2}}{{{e^{{x^2} - 3x}}(1 - \frac{4}{{{e^{3{x^2}}}}})(x + \sqrt {{x^2} + 2{e^{3x}}} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2}}{{{e^{{x^2}(1 - \frac{3}{x})}}(1 - \frac{4}{{{e^{3{x^2}}}}})(x + \sqrt {{x^2} + 2{e^{3x}}} )}} = \]
\[ = \frac{{ - 2}}{{{e^{ + \infty (1 - 0)}}(1 - 0)( + \infty + \infty )}} = \frac{{ - 2}}{{ + \infty }} = 0\]

Saluti.

PS: Ti prego di postare un solo esercizio per ogni topic aperto e di formattare correttamente le formule matematiche con l'equation editor. Grazie.

Grazie mille per la disponibilità e velocità, sei stato molto esaustivo, anzi super. Mi ero avvicinato, però mi sono perso tra calcoli e voli pindarici.
Scusami per l'errore dell'equation editore per i due esercizi insieme. Non accadrà più.