Esercizio calcolo limite di funzione esponenziale a base variabile

[AleK]

buonasera, stavo provando a svolgere il seguente limite:

\[\lim_{x\to 1}{x}^{\frac{x}{x^{2}+1}}\]


ma dopo aver trasformato il limite dalla base variabile alla base fissa, tramite il numero di nepero e , non riesco a togliere la forma indeterminata all'esponente. C'è qualcuno che mi può aiutare?
saluti

[maurizio.schirinzi]

Quale forma indeterminata?
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^{\frac{x}{{{x^2} + 1}}}} = {1^{\frac{1}{{1 + 1}}}} = {1^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 1 = 1\]

[AleK]

ahh mi scusi ho sbagliato a scrivere il denominatore, in realtà è x^2 -1, quindi ho una forma indeterminata del tipo 1^infinito

[maurizio.schirinzi]

Ok! ... allora si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^{\frac{x}{{{x^2} - 1}}}} = [{1^\infty }]\]
trasformando l'esponenziale a base variabile in base fissa
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^{\frac{x}{{{x^2} - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {e^{\ln ({x^{\frac{x}{{{x^2} - 1}}}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {e^{\frac{x}{{{x^2} - 1}}\ln (x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\ln (x)}}{{{x^2} - 1}}}} = {e^{[\frac{0}{0}]}} = *\]
con un cambio di variabile si ha
\[x - 1 = t\;\;\; \to \;\;\;x = 1 + t\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\ln (x)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\ln (x)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{(1 + t)\ln (1 + t)}}{{t\,(1 + t + 1)}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln (1 + t)}}{{t\,}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 + t}}{{t + 2}} = 1 \cdot \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 + t}}{{t + 2}} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]
\[* = {e^{\frac{1}{2}}} = \sqrt e \]

Saluti.

[AleK]

Ecco mi mancava la parte sul cambio di variabile.
Come sempre grazie mille per avermi aiutato.
Una buona giornata, saluti