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potete aiutarmi a risolvere questo limite?

lim \[\lim_{x-->0}2\tfrac{x log(x+1)+log(x+1)}{(x+1)^3 -1}\]

Ciao, se nella convenzione del tuo libro di testo o prof. il "log" è inteso come logaritmo neperiano (o naturale) "ln" abbiamo:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;2\frac{{x\ln (x + 1) + \ln (x + 1)}}{{{{(x + 1)}^3} - 1}} = [\frac{0}{0}]\] poichè a denominatore abbiamo una differenza di cubi e ricordando la nota formula di scomposizione dell'algebra di base \[{A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})\] possiamo scomporre l'espressione polinomiale a denominatore mentre a numeratore raccogliamo il ln(x+1) ...
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;2\frac{{x\ln (x + 1) + \ln (x + 1)}}{{{{(x + 1)}^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;2\frac{{\ln (x + 1)\;[x + 1]}}{{[(x + 1) - 1][{{(x + 1)}^2} + (x + 1) + 1]}} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;2\frac{{\ln (x + 1)\;[x + 1]}}{{[(x + 1 - 1][{x^2} + 2x + 1 + x + 1 + 1]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;2\frac{{\ln (x + 1)\;[x + 1]}}{{[x][{x^2} + 3x + 3]}} =
\end{array}\] e applicando la proprietà del limite del prodotto disaccoppiamo le espressioni \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;\frac{{\ln (x + 1)\;}}{x}\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \;2\frac{{\;x + 1}}{{{x^2} + 3x + 3}} = 1\; \cdot \;\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\]
essendo il primo un limite notevole (=1)

Saluti

PS: Poichè trattasi di un limite di funzione logaritmica, il post non è nella sezione appropriata (non si tratta di funzione definita per casi!). Lo User Admin provvederà a spostare al più presto il post nella sezione più opportuna "Calcolo di Limiti di Funzioni Logaritmiche". Inoltre il titolo del topic "Aiutoooooooo" non è apropriato in quanto non ammesso dal regolamento; verrà pertanto modificato in "Esercizio di calcolo limite di funzione logaritmica". Ti prego di fare più attenzione nel postare i topic nelle opportune sezioni assegnando dei titoli più correlati con i contenuti del post in modo che i motori di ricerca possano indicizzare correttamente tutti i post del forum! ... Grazie!

La ringrazio della sua pronta risposta. Mi è stato utilissimo, come tutte le sue lezioni e gli argomenti trattati. Se riesco a superare l'esame sarà grazie a Lei. Inoltre volevo precisare sul limite che è in forma a^ f(x) e cioè il 2^ a tutta la funzione fratta logaritmica, non vorrei che scrivendo male la funzione non si fosse capita come forma. Infine volevo chiederle: ma l'x che moltiplica il ln(x+1) + ln(x+1) non va tenuto in considerazione oppure è stato semplificato con qualche altra x a denominatore che ora mi sfugge?

Si, infatti dalla formattazione che hai fatto con l'equation editor il 2 non sembrava la base dell'esponenziale, ma sembrava essere al fianco della frazione! ...

Comunque in quel caso basta risolvere il limite del solo esponente (la base è fissa a 2) con gli stessi passaggi e dovrebbe venire \({2^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{2}\).

La x al fianco del primo logaritmo (da come hai scritto il testo) è solo al fianco del primo logaritmo e non viene semplificata; dopo il raccolgimento del log(x+1) a numeratore resta [x+1] a prodotto al fianco del logaritmo raccolto. Se invece il testo intendeva la x che moltiplica entrambi i due logaritmi complessivamente a numeratore allora il discorso cambia!

Saluti.

Mi scusi se mi permetto ma lei è fantastico. La sua spiegazione è stata esauriente ed ho capito che la x è stata moltiplicata con il logaritmo diventando [x+1]. Inoltre mi scuso per la formattazione della formula ma non ho usato mai questo programma ed è la prima volta che uso il forum. Infine il limite come risultato veniva infatti 2^1/3 cioè radice cubica di 2. Le faccio i miei più sentiti complimenti per il sito, per la disponibilità e professionalità che lei mette in questo progetto perchè riescono ad approcciarsi alla matematica anche chi non è portato di sua natura! Se riuscirò a passare l'esame di matematica, mi scusi se mi permetto, ma un brindisi glielo dedico.


Grazie di tutto e alla prossima spiegazione se ce ne fosse il bisogno.
Distinti saluti.
L.L.