www.easymath.it

Salve, come sta? ripassando per l'esame abbiamo trovato questo limite che ci lascia un po' perplessi in quanto non ci risulta secondo le opzioni date:
\[\lim_{x\to\infty }(x^2+1)ln\frac{x+2}{x+1}\]

portando tutto a base e e applicando le proprietà dei logaritmi portando la moltiplicazione ad esponente, non ci risulta. Sicuramente stiamo commettendo qualche errore bislacco.
La ringrazio anticipatamente per l'aiuto che vorrà offrirci. le mando i miei cordiali saluti

Ciao, ecco lo svolgimento:
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;({x^2} + 1)\ln \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\ln {(\frac{{x + 2}}{{x + 1}})^{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\ln {(\frac{{x + 1 + 1}}{{x + 1}})^{{x^2} + 1}} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^{{x^2} - 1 + 2}} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\ln [{(1 + \frac{1}{{x + 1}})^{{x^2} - 1}} \cdot {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^2}] = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;[\ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^{{x^2} - 1}} + \ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^2}] =
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^{{x^2} - 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^2} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^{(x - 1)(x + 1)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^2} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\ln {[{(1 + \frac{1}{{x + 1}})^{(x + 1)}}]^{(x - 1)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^2} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [\;(x - 1)\ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^{(x + 1)}}] + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^2} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x - 1) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^{(x + 1)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^2} = \\
= [\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x - 1)] \cdot \ln (e) + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln {(1 + \frac{1}{{x + 1}})^2} = [\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x - 1)] \cdot 1 + \ln (1) = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x - 1) + 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x - 1) = \infty
\end{array}\]

Saluti.

Cosa devo dirle? non ci sarei sicuramente riuscito. Grazie per la spiegazione. Spero un giorno di poter ricambiare.