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\[\lim_{x\rightarrow -1^{+}} ln \frac{x+1}{(x+1)^{-1}}-2\]
in questo caso devo fare la derivata del log o della fratta o entrambe ?

\[\lim_{x\rightarrow -1^{+}} \frac{ln (x+1)}{(x+1)^{-1}} -2\]
scusa ho sbagliato a scrivere la traccia

\[\frac{(x+1)^{-1}}{(x-1)^{-2}}\]
applicando de l'Hopital mi viene questo ... ma poi non so come proseguire

Ciao, dopo aver applicato De L'Hopital basta ribaltare le frazioni e semplificare! ... ecco tutti i passaggi:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\ln (x + 1)}}{{{{(x + 1)}^{ - 1}}}} - 2 = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] - 2\]
staccando il -2 dal calcolo del limite per le proprietà dei limiti si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\ln (x + 1)}}{{{{(x + 1)}^{ - 1}}}} - 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\ln (x + 1)}}{{{{(x + 1)}^{ - 1}}}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} [\frac{{\ln (x + 1)}}{{{{(x + 1)}^{ - 1}}}}] - 2 = *\]
dunque calcoliamo solo il limite in forma indeterminata:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\ln (x + 1)}}{{{{(x + 1)}^{ - 1}}}}\mathop = \limits_H \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\frac{1}{{x + 1}}}}{{ - 1{{(x + 1)}^{ - 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\frac{1}{{x + 1}}}}{{\frac{{ - 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}}} = \] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - {{(x + 1)}^2}}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} - (x + 1) = 0\] pertanto il risultato del limite principale sarà:
\[* = 0 - 2 = - 2\]
Nota che c'era un errore nella tua derivata!

Saluti.