Ciao, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{sen(x)}} - \cos (x) - sen(x)}}{{tg(2{x^2}) - 2\,sen({x^2})}} = [\frac{0}{0}]\]
questo limite non può essere risolto utilizzando i limiti notevoli ma va svolto solo attraverso i più potenti sviluppi di Taylor !!
Infatti il tentativo di eliminare la forma indeterminata sfruttando poi le informazioni dei limiti notevoli (e dopo aver eliminato eventualmente prima la forma indeterminata mediante una semplificazione) fallirebbe e ci riporterebbe sempre in forma indeterminata, come si evince dai seguenti passaggi:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{sen(x)}} - \cos (x) - sen(x)}}{{tg(2{x^2}) - 2\,sen({x^2})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{sen(x)}} - 1 + 1 - \cos (x) - sen(x)}}{{tg(2{x^2}) - 2\,sen({x^2})}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{sen(x)}} - 1}}{{sen(x)}}\frac{{sen(x)}}{x}x + \frac{{1 - \cos (x)}}{{{x^2}}}{x^2} - \frac{{sen(x)}}{x}x}}{{\frac{{tg(2{x^2})}}{{2{x^2}}}2{x^2} - 2\,\frac{{sen({x^2})}}{{{x^2}}}{x^2}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\;[\frac{{{e^{sen(x)}} - 1}}{{sen(x)}}\frac{{sen(x)}}{x} + \frac{{1 - \cos (x)}}{{{x^2}}}x - \frac{{sen(x)}}{x}]}}{{{x^2}[\frac{{tg(2{x^2})}}{{2{x^2}}}2 - 2\,\frac{{sen({x^2})}}{{{x^2}}}]}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{sen(x)}} - 1}}{{sen(x)}}\frac{{sen(x)}}{x} + \frac{{1 - \cos (x)}}{{{x^2}}}x - \frac{{sen(x)}}{x}}}{{x\,[\frac{{tg(2{x^2})}}{{2{x^2}}}2 - 2\,\frac{{sen({x^2})}}{{{x^2}}}]}} = \frac{{1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 1}}{{0\,[2 - 2]}} = [\frac{0}{0}]\]
Saluti.
