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salve avrei bisogno del suo aiuto con questo esercizio:

Si calcoli, se esiste, il seguente limite attraverso l'utilizzo di limiti notevoli o tramite il confronto tra infiniti e infinitesimi:


\[\lim_{x \to 0^{+} }log\, x\, \frac{\sqrt{1+x^{3}}-cos\left ( x\sqrt{x} \right )}{sin\sqrt{x}-log^{2}\left ( 1-\sqrt{x} \right )}\]




grazie..

Ciao,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (x)\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} - \cos (x\sqrt x )}}{{sen(\sqrt x ) - {{\ln }^2}(1 - \sqrt x )}} = [\frac{0}{0}]\]
Anche se questo tipo di limiti sarebbe più comodo gestirli con gli sviluppi di Taylor, tuttavia in questo caso "per fortuna" è possibile applicare anche i limiti notevoli! ...

Ecco di seguito tutti i passaggi formali più pesanti nei minimi dettagli che questo tipo di tecnica comporta!
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (x)\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} - \cos (x\sqrt x )}}{{sen(\sqrt x ) - {{\ln }^2}(1 - \sqrt x )}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (x)\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} - 1 + 1 - \cos (x\,{x^{1/2}})}}{{\frac{{sen(\sqrt x )}}{{\sqrt x }}\sqrt x - {{[\frac{{\ln (1 + ( - \sqrt x ))}}{{ - \sqrt x }}( - \sqrt x )]}^2}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (x)\frac{{\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} - 1}}{{{x^3}}}{x^3} + \frac{{1 - \cos ({x^{3/2}})}}{{{{({x^{3/2}})}^2}}}{{({x^{3/2}})}^2}}}{{\frac{{sen(\sqrt x )}}{{\sqrt x }}\sqrt x - {{[\frac{{\ln (1 + ( - \sqrt x ))}}{{ - \sqrt x }}( - \sqrt x )]}^2}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (x)\frac{{\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} - 1}}{{{x^3}}}{x^3} + \frac{{1 - \cos ({x^{3/2}})}}{{{{({x^{3/2}})}^2}}}{x^3}}}{{\frac{{sen(\sqrt x )}}{{\sqrt x }}\sqrt x - {{[\frac{{\ln (1 + ( - \sqrt x ))}}{{ - \sqrt x }}( - \sqrt x )]}^2}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (x)\frac{{{x^3}[\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} - 1}}{{{x^3}}} + \frac{{1 - \cos ({x^{3/2}})}}{{{{({x^{3/2}})}^2}}}]}}{{\frac{{sen(\sqrt x )}}{{\sqrt x }}{x^{1/2}} - {{[\frac{{\ln (1 + ( - \sqrt x ))}}{{ - \sqrt x }}]}^2}x}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (x)\frac{{{x^3}[\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} - 1}}{{{x^3}}} + \frac{{1 - \cos ({x^{3/2}})}}{{{{({x^{3/2}})}^2}}}]}}{{{x^{1/2}}\{ \frac{{sen(\sqrt x )}}{{\sqrt x }} - {{[\frac{{\ln (1 + ( - \sqrt x ))}}{{ - \sqrt x }}]}^2}{x^{1/2}}\} }} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln (x)\frac{{{x^{5/2}}\,[\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} - 1}}{{{x^3}}} + \frac{{1 - \cos ({x^{3/2}})}}{{{{({x^{3/2}})}^2}}}]}}{{\frac{{sen(\sqrt x )}}{{\sqrt x }} - {{[\frac{{\ln (1 + ( - \sqrt x ))}}{{ - \sqrt x }}]}^2}{x^{1/2}}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [\frac{{\frac{{{{(1 + {x^3})}^{1/2}} - 1}}{{{x^3}}} + \frac{{1 - \cos ({x^{3/2}})}}{{{{({x^{3/2}})}^2}}}}}{{\frac{{sen(\sqrt x )}}{{\sqrt x }} - {{[\frac{{\ln (1 + ( - \sqrt x ))}}{{ - \sqrt x }}]}^2}{x^{1/2}}}}] \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [{x^{5/2}}\ln (x)] = \]
e ricordando i soliti limiti notevoli si ha
\[ = \frac{{\frac{1}{2}\, + \frac{1}{2}}}{{1 - {{[1]}^2} \cdot 0}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [{x^{5/2}}\ln (x)] = 1 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [{x^{5/2}}\ln (x)] = [0 \cdot \infty ] = *\]
con un cambio di variabile ci si riconduce ad un altro limite notevole (quello del logaritmo a confronto con la potenza nella gara di forma indeterminata infinito su infinito)
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{x} = t\;\;\; \to \;\;\;x = \frac{1}{t}\\
x \to {0^ + }\;\;\; \Rightarrow \;\;\;t \to + \infty
\end{array}\]
\[* = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [{x^{5/2}}\ln (x)] = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } [{(\frac{1}{t})^{5/2}}\ln (\frac{1}{t})] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } [\frac{{ - \ln (t)}}{{{t^{5/2}}}}] = - \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } [\frac{{\ln (t)}}{{{t^{5/2}}}}] = 0\]

Saluti.