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mi blocco nella risoluzione di questo limite

\[\lim_{x\rightarrow \propto } \frac{3x^{4}-2x +1}{5x^{2}+1} log_{2}(1-arcsin \frac{1}{x})\]

\[\lim_{x\rightarrow \propto } \frac{3}{5}x^{2} log_{2} (1- \frac{1}{x^{2}})\]

\[\lim_{x\rightarrow \propto } \frac{3}{5} \frac{log_{2}(1-\frac{1}{x^{2}})}{\frac{1}{x^{2}}}\]

applicando de l'Hopital viene

\[\lim_{x\rightarrow \propto } 0 \frac{1}{1-\frac{1}{x^{2 }}}2x^{-3}log_{2}e\]

quindi alla fine dovrebbe venire 0. è così oppure ho sbagliato ?

scusa ho scritto male l'ultimo passaggio

\[\lim_{x\rightarrow \propto } 0\cdot \frac{\frac{1}{1-\frac{1}{x^{2}}}\cdot \frac{1}{2x^{3}}\cdot log_{2}e}{-\frac{1}{2x^{3}}}\]


\[\lim_{x\rightarrow \propto } 0 \cdot -\frac{log_{2}e}{1-\frac{1}{x^{2}}}\]

Ciao, ... ma l'arcoseno ha come argomento $\frac{1}{x}$ o $\frac{1}{{{x^2}}}$ ?? ... dal primo passaggio al secondo sembra esserci un errore di trascrizione ... comunque ecco lo svolgimento nel secondo caso:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3{x^4} - 2x + 1}}{{5{x^2} + 1}}{\log _2}(1 - arcsen(\frac{1}{{{x^2}}})) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^4}(3 - \frac{2}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}})}}{{{x^2}(5 + \frac{1}{{{x^2}}})}}{\log _2}(1 - arcsen(\frac{1}{{{x^2}}})) = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(3 - \frac{2}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}})}}{{(5 + \frac{1}{{{x^2}}})}}\mathop { \cdot \lim }\limits_{x \to \infty } \;{x^2}{\log _2}(1 - arcsen(\frac{1}{{{x^2}}})) = \]
\[ = \frac{3}{5}\mathop { \cdot \lim }\limits_{x \to \infty } \;\frac{{{{\log }_2}(1 - arcsen(\frac{1}{{{x^2}}}))}}{{\frac{1}{{{x^2}}}}} \cong \frac{3}{5}\mathop { \cdot \lim }\limits_{x \to \infty } \;\frac{{ - {{\log }_2}(1 + \frac{{ - 1}}{{{x^2}}})}}{{ - \frac{1}{{{x^2}}}}} = - \frac{3}{5}{\log _2}(e)\]
nell'ultimo limite non c'era bisogno di applicare De L'Hopital essendo il limite notevole del logaritmo rispetto alla quantità $\frac{-1}{{{x^2}}}$ che tende a zero per la nostra x --> infinito.

Saluti.