Limite con metodo di sostituzione

[MarcoMath]

Buongiorno,

ho provato a calcolare il seguente limite

\[\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos (x)}{\sqrt{2-\cos (x)}-1}\]

trattato in uno dei suoi video il cui risultato è 2.
Nel video lei utilizza la tecnica della moltiplicazione del denominare cambiato di segno sia al denominatore che denominatore, semplificando si arriva quindi a 2.

Io ho provato invece in modo diverso ponendo \[t = \sqrt{2-\cos (x))}\] e ricavandone il \[cos(x) = \pm t^{2} \mp 2\]

venendo quindi \[\lim_{t \to 0} \frac{1\pm t^{2} \mp 2}{t-1}\] che restituisce 1 oppure 3 andando a sostituire a t il valore 0.

Perché questo procedimento non è corretto?


La ringrazio infinitamente.

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos (x)}}{{\sqrt {2 - \cos (x)} - 1}}\]
l'errore è nella sostituzione e nel relativo passaggio di elevamento al quadrato che hai fatto: da dove salta fuori quel +- ?? ...

ponendo
\[t = \sqrt {2 - \cos (x)} \;\;\; \to \;\;\;t > 0,\;\;\forall x \in R\]
\[x \to 0\;\;\; \Rightarrow \;\;\;t \to 1\]
tieni presente che quando si fa una sostituzione (o cambio di variabile) questa deve essere in corrispondenza biunivoca con la variabile precedente, in altre parole la funzione della nuova variabile deve essere biettiva e la sua inversa altrettanto!! ... questo si rende necessario per assicurare un passaggio univoco da una variabile all'altra; si noti che con la suddetta posizione che abbiamo fatto si ha:
\[2 - \cos (x) > 0\;\;\; \to \;\;\;\cos (x) < 2\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in R\]
e ne segue pertanto che i valori restituiti sulla variabile t dalla radice saranno positivi; quindi poichè ambo i membri della identità posta sono non negativi abbiamo le condizioni per poter elevare al quadrato i due membri della identità (cosa non possibile se non fossero entrambi non negativi); dunque si ha
\[{t^2} = 2 - \cos (x)\;\;\; \to \;\;\;\cos (x) = 2 - {t^2}\]
pertanto si ha
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos (x)}}{{\sqrt {2 - \cos (x)} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{1 - (2 - {t^2})}}{{t - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{1 - 2 + {t^2}}}{{t - 1}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{{t^2} - 1}}{{t - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{(t - 1)(t + 1)}}{{t - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} (t + 1) = 2\]
colgo l'occasione per una nota didattica che spesso confonde gli studenti: a lezione molto frequentemente i prof dicono brutalmente in molti passaggi matematici "eleviamo ambo i membri al quadrato ... e quindi ... bla bla ..."!! ... nulla di più sbagliato didatticamente! ... vanno sempre precisate le condizioni per cui è possibile elevare ad una potenza "pari" ambo i membri di una equazione o identità! ... per gli elevamenti a potenze dispari non ci sono mai problemi!

Saluti.

[MarcoMath]

correttissimo, grazie per la spiegazione.

Professore una domanda: visto che non vi è mai una soluzione su come procedere per risolvere i limiti, per esempio se ci sono situazioni logaritmiche e magari cos^2(x) è possibile sfruttare il rapporto sen^(x) + cos^(x) = 1 oppure tentare con i limiti notevoli.
Quando secondo lei o che cosa può portare a optare per una scelta oppure l'altra.
Le chiedo questo perché come abbiamo visto questo limite ha almeno due metodi risolutivi. Ci sono delle volte che adottandone uno i calcoli diventano complicati o non restituiscono risultati, quindi sono in quel momento di sceglie l'altra strada o un'altra ancora.
Ebbene esiste al di là dell'intuito una tecnica per aiutarsi in questo?

Grazie infinite.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, purtroppo nel calcolo dei limiti (come in tanti altri argomenti di matematica) non esistono regole o procedimenti generali, ma esistono varie tecniche per la cui scelta occorre affidarsi all'intuito, al buon senso, all'esperienza e alla tipologia del limite che si ha di fronte! ... per questo si parla di "tecniche" piuttosto che di "regole" o "procedimenti" !!

Saluti.