Calcolo limite

[piero87]

Ciao a tutti

Mi potete aiutare a risolvere questo limite con taylor

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x+ln(1+x^3)}{\sqrt{x}+x^2}\]

faccio lo sviluppo di \[ln(1+x^3)\] = \[x^3-\frac{1}{2}x^3+O(X^2)\]

come faccio a fare lo sviluppo di \[\sqrt{x}\] ??

so che lo sviluppo di \[\sqrt{1+x} = 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+O(X^2)\]

Grazie mille

[maurizio.schirinzi]

Lo sviluppo di Taylor del logaritmo è sbagliato!

Se lo sviluppo di Taylor fondamentale del logaritmo è:
\[\ln (1 + x) \cong x - \frac{1}{2}{x^2} + o({x^2})\]
quando sviluppi il logaritmo del tuo limite si ha:
\[\ln (1 + {x^3}) \cong {x^3} - \frac{1}{2}{({x^3})^2} + o({({x^3})^2}) = {x^3} - \frac{1}{2}{x^6} + o({x^6})\]
Inoltre la radice di x non è sviluppabile con Taylor nell'intorno di zero perchè la funzione radice non è derivabile in x=0 e quindi non può esistere il polinomio di Taylor della radice di x.

In ogni caso non serve sviluppare la radice di x perchè essa è già scrivibile come "polinomio" nell'intorno destro di zero essendo scrivibile come potenza con esponente frazionario:
\[\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}\]
e sarà quindi il termine dominante (quello di grado più basso) quando x tende a zero tra quelli presenti a denominatore.

Inoltre il limite esisterà ovviamente solo per x --> 0+ mentre quello sinistro non esiste!

Saluti.

[piero87]

a Si certo mi sono dimenticato di elevare a potenza

il limite quindi sarà.

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x+x^3-\frac{1}{2}x^6+O(x^6)}{{x}^{\frac{1}{2}}+x^2}\]

alla fine mi rimarrà

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x}{{x}^{\frac{1}{2}}}\]

semplifico e mi viene infinito.
é giusto??

grazie

[maurizio.schirinzi]

Perchè infinito?? ...
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3x}}{{{x^{\frac{1}{2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 3{x^{1 - \frac{1}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 3{x^{\frac{1}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 3\sqrt x = 3\sqrt {{0^ + }} = 0\]