Calcolo limite con Taylor

[piero87]

Ciao a tutti
Mi potete dire se il risultato e il procedimento di questo limite è giusto?

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3\sqrt{x}+sin(x^2)+ln(1+x)}{x+\sqrt{{e}^{4x}-1}}\]

ho fatto gli sviluppi di Taylor fino al secondo ordine:

\[sin(x^2)= x^2\]
\[ln(1+x)= x-\frac{1}{2}x^2\]
\[{e}^{4x}=1+4x+8x^2\]

riscrivendo il limite con gli sviluppi di Taylor avremo:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3\sqrt{x}+x^2+x-\frac{x^2}{2}}{x+\sqrt{1+4x+8x^2-1}}\]

semplificando avremo:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{3x}^{\frac{1}{2}}+\frac{x^2}{2}+x}{x+\sqrt{4x+8x^2}}\]

raccolgo forzatamente:
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{x}^{\frac{1}{2}}(3+{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{\frac{1}{2}})}{x+\sqrt{x(4+8x)}}\]

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{x}^{\frac{1}{2}}(3+{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{\frac{1}{2}})}{{x}^{\frac{1}{2}}({x}^{\frac{1}{2}}+4)}=\]

\[\frac{3}{4}\]

Ho fatto bene?
grazie mille

[maurizio.schirinzi]

Ci sono degli errori !! ... Ecco lo svolgimento corretto:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\sqrt x + sin({x^2}) + ln(1 + x)}}{{x + \sqrt {{e^{4x}} - 1} }} \cong \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\sqrt x + {x^2} + x - \frac{1}{2}{x^2}}}{{x + \sqrt {1 + 4x + 8{x^2} - 1} }} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3{x^{\frac{1}{2}}} + x + \frac{1}{2}{x^2}}}{{x + \sqrt {4x + 8{x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}(3 + {x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}{x^{\frac{3}{2}}})}}{{x + \sqrt {x(4 + 8x)} }} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}(3 + {x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}{x^{\frac{3}{2}}})}}{{x + \sqrt x \sqrt {(4 + 8x)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}(3 + {x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}{x^{\frac{3}{2}}})}}{{x + {x^{\frac{1}{2}}}\sqrt {(4 + 8x)} }} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}(3 + {x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}{x^{\frac{3}{2}}})}}{{{x^{\frac{1}{2}}}[{x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt {(4 + 8x)} ]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3 + {x^{\frac{3}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt {(4 + 8x)} }} = \frac{3}{{\sqrt 4 }} = \frac{3}{2}\]

Saluti.