Come fa a fare i calcoli così velocemente dopo lo sviluppo di Taylor?

[Baldur]

Premesso che mi pare di aver capito bene gli sviluppi del polinomio di Taylor applicato ai limiti. Ho però dei problemi riguardo al calcolo del polinomio di taylor, una volta applicato per un ordine n.

Porto l'esempio di un esercizio da seconda parte di uno dei compiti di esame del corso di matematica nella mia facoltà:

il limite, sviluppato con taylor, risulta essere, per il primo addendo:

$xe^{x-\frac{2}{3}x^2} = x [1+{x-\frac{2}{3}x^2} + \frac{1}{2} ({x-\frac{2}{3}x^2})^2 + \frac{1}{6} ({x-\frac{2}{3}x^2})^3 + \frac{1}{24} ({x-\frac{2}{3}x^2})^4]$

$= x [1 + x-\frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{9}x^4 + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{3}x^4 + \frac{1}{24}x^4]$

$= x + x^2 - \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{72}x^5$

Quello che mi chiedo è: come ha fatto a calcolare quelle parentesi di quarto grado, di terzo grado, in un solo passaggio? C'è un metodo veloce per caso? sono calcoli mastodontici quelli del primo rigo!! come si fa ad arrivare così in fretta a tutto il resto?

Ah, altra cosa: ma il polinomio di taylor, si può applicare solo ai limiti che tendono a 0?

Grazie a tutti

[maurizio.schirinzi]

Supponendo che il grado massimo di sviluppo che interessa sia ad esempio n=4 si procede semplicemente ignorando i calcoli delle potenze dei binomi che portano a gradi della x superiori a 4... ad esempio considerando il termine relativo al cubo del binomio:
\[\frac{1}{6}{(x - \frac{2}{3}{x^2})^3} = \frac{1}{6}[{x^3} + 3{(x)^2}( - \frac{2}{3}{x^2}) + 3(x){( - \frac{2}{3}{x^2})^2} + {( - \frac{2}{3}{x^2})^3}] = \frac{1}{6}[{x^3} + 3{(x)^2}( - \frac{2}{3}{x^2})......]\]
in pratica mentre faccio i conti del cubo del binomio tralascio mentalmente quelli che porterebbero ad avere x di grado superiore a 4 e quindi ottengo...
\[\frac{1}{6}[{x^3} + 3{(x)^2}( - \frac{2}{3}{x^2})......] = \frac{1}{6}[{x^3} - 2{x^4}] = \frac{1}{6}{x^3} - \frac{1}{3}{x^4}\]
stesso discorso per i calcoli relativi alla quarta potenza del binomio... ecc...
non ci sono quindi altri metodi più veloci.

Lo sviluppo di Taylor si può fare nell'intorno di qualsiasi punto al finito dove la funzione è derivabile n volte. Quindi si può applicare anche a limiti per x tendente ad un valore finito diverso da zero.
Quando si fa lo sviluppo nell'intorno di zero si parla di polinomio di Mc. Lauren (=Taylor nel punto zero).
E' ovvio che si preferisce sviluppare nell'intorno di zero perché i calcoli degli sviluppi sono più semplici (molti termini si annullano) e quindi, nel caso di limiti per x non tendente a zero, si potrebbe fare prima un cambio di variabile per ottenere una nuova variabile che tende a zero, rispetto alla quale fare poi gli sviluppi di Mc. Lauren nell'intorno di zero.

Ciao

[Baldur]

Grazie mille.

Quindi tu in ogni caso consigli di non avventurarsi in taylor, se la x tende ad un numero diverso da 0. Ma consigli invece di effettuare un cambio di variabile.. e se la x invece tendesse a infinito? Visto che taylor non si potrebbe proprio applicare, in tal caso bisognerebbe procedere ad un cambio di variabile per portarla a tendere a 0 o ad un numero finito?

E un'altra cosa: in genere, c'è un riferimento in base al quale scegliere il grado a cui fermarsi? O la cosa è completamente arbitraria? Grazie

[maurizio.schirinzi]

Si, nel caso in cui la x tende ad infinito l'unica possibilità per applicare gli sviluppi di Taylor/Mc. Lauren è quella di cambiare variabile e in questo caso per x che tende ad infinito è facile crearsi una variabile che tende a zero (t=1/x).

Riguardo al criterio con cui si sceglie di troncare lo sviluppo di Taylor in linea generale (e salvo casi particolarissimi) è quello di prendere i termini dello sviluppo sufficienti per mantenere "in gioco" il calcolo del limite senza ricascare in forma indeterminata o senza che si verifichino azzeramenti algebrici "secchi" nei calcoli del limite. Di solito basta prendere i gradi dello sviluppo almeno superiori di uno rispetto ai gradi dei termini già presenti nella funzione di partenza.
Nei video-tutorials disponibili sul sito ci sono esempi che spiegano chiaramente questo criterio e quello che accade quando non si prendono i termini sufficienti.

saluti

[Baldur]

Grazie e complimenti per il progetto.