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Ciao!
Stavo facendo questo limite con gli sviluppi di Taylor:

\[lim(x->0^{+}) [log(1+sin^{2}x)-x^{2}]x^{\alpha }



\]


Arrivo a questo punto:

\[

lim(x->0^{+}) [(-5/6)x^{4}+o(x^{4})]/x^{\alpha }
\]





Ora cosa dovrei fare? Io farei:

\[

lim(x->0^{+}) [(-5/6)x^{4-\alpha }]+o(x^{4})
\]



E quindi discuterei:
\[

4-\alpha >0

\]

\[

4-\alpha <0
\]

\[

4-\alpha =0
\]

A me viene cosi:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{\ln (1 + se{n^2}(x))}}{{{x^\alpha }}} = \left\{ \begin{array}{l}
0 - - - - - \alpha \le 0\\
\left[ {\frac{0}{0}} \right] - - - - \alpha > 0
\end{array} \right.\]
approssimando il seno fino al 3° ordine si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{\ln (1 + se{n^2}(x))}}{{{x^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{\ln [1 + {{(x - \frac{1}{6}{x^3} + o({x^5}))}^2}]}}{{{x^\alpha }}} = \]
e approssimando il logaritmo al 1° ordine si ha:
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{{{(x - \frac{1}{6}{x^3} + o({x^5}))}^2}}}{{{x^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{{x^2} + \frac{1}{{36}}{x^6} + o({x^{10}}) - \frac{1}{3}{x^4} + o({x^6}) + o({x^8})}}{{{x^\alpha }}} = \] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{{x^2} - \frac{1}{3}{x^4} + o({x^6})}}{{{x^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{{x^2}[1 - \frac{1}{3}{x^2} + o({x^4})]}}{{{x^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{1 - \frac{1}{3}{x^2} + o({x^4})}}{{{x^{\alpha - 2}}}} = \left\{ \begin{array}{l}
0 - - - - - 0 < \alpha < 2\\
1 - - - - - \alpha = 2\\
+ \infty - - - - \alpha > 2
\end{array} \right.\]
riassumendo e comprendendo anche il caso iniziale \(\alpha \le 0\) si ha:
\[\left\{ \begin{array}{l}
0 - - - - - \alpha < 2\\
1 - - - - - \alpha = 2\\
+ \infty - - - - \alpha > 2
\end{array} \right.\]
Saluti.

PS: Ti prego di impegnarti un pò di più per scrivere le formule correttamente con l'Equation Editor o se preferisci con un più pratico programma esterno come (MathType) e incollare poi il codice LaTex direttamente nel post.

ma mi sa che hai sbagliato a interpretare la mia traccia. Al numeratore, dopo il logaritmo e il suo argomento c'è anche "-x²"

Hai ragione e inoltre la prima traccia aveva \({{x^\alpha }}\) a prodotto e poi dopo stranamente l'hai scritta a denominatore!!
In tal caso cambieranno un po i conti ma il procedimento è simile a quello del mio esempio applicabile tranquillamente al tuo.
Se in futuro scriverai un po meglio le formule con l'editor o con MathType sicuramente interpreterò meglio la traccia! ... spero!....
Ciao.

Ad ogni modo, per completezza di questo interessante esercizio, ecco anche lo svolgimento della tua versione:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\ln [1 + se{n^2}(x)] - {x^2}}}{{{x^\alpha }}} = \left\{ \begin{array}{l}
0.....................\alpha \le 0\\
\left[ {\frac{0}{0}} \right]...........\alpha > 0
\end{array} \right.\]
approssimando il seno fino al 3° ordine si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\ln [1 + se{n^2}(x)] - {x^2}}}{{{x^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\ln [1 + {{(x - \frac{1}{6}{x^3} + o({x^5}))}^2}] - {x^2}}}{{{x^\alpha }}} = \]
e approssimando il logaritmo al 2° ordine (essendoci in questo caso anche il termine \(-x^{2}\) ) si ha:
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{(x - \frac{1}{6}{x^3} + o({x^5}))}^2} - \frac{1}{2}{{(x - \frac{1}{6}{x^3} + o({x^5}))}^4} - {x^2}}}{{{x^\alpha }}} = \] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} + \frac{1}{{36}}{x^6} + o({x^{10}}) - \frac{1}{3}{x^4} + o({x^6}) + o({x^8}) - \frac{1}{2}({x^4} + o({x^6})...) - {x^2}}}{{{x^\alpha }}} = \] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - \frac{1}{3}{x^4} - \frac{1}{2}{x^4} + o({x^6})}}{{{x^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^4}[ - \frac{5}{6} + o({x^2})]}}{{{x^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - \frac{5}{6} + o({x^2})}}{{{x^{\alpha - 4}}}} = \left\{ \begin{array}{l}
0.....................0 < \alpha < 4\\
- \frac{5}{6}..........\alpha = 4\\
- \infty ...........\alpha > 4
\end{array} \right.\]
riassumendo e comprendendo anche il caso iniziale α≤0 si ha:
\[\left\{ \begin{array}{l}
0......................\alpha < 4\\
- \frac{5}{6}...........\alpha = 4\\
- \infty ............\alpha > 4
\end{array} \right.\]
Saluti.

ti ringrazio!