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Salve!!!Non sono riuscita a scrivere la formula dell'esercizio usando l'equation editor. Ho, però, allegato un'immagine dell' esercizio che non riesco a svolgere. Spero vada bene lo stesso.

Ciao, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\cos (sen(x))\ln (arcsen(x) - arctg(x) + 1)}}{{t{g^3}(x)}} = [\frac{0}{0}]\]
questo tipo di limiti richiede l'uso delle tecniche di Taylor-Landau poichè con l'uso dei limiti notevoli si ricascherebbe sempre in una forma indeterminata; infatti i limiti notevoli altro non sono che l'approssimazione "più grossolana" di Taylor al 1° ordine.
Questo limite, a causa dei confronti "più fini" necessari nei termini presenti, richiede le approssimazioni di quei termini all'ordine superiore mediante gli sviluppi di Taylor di arcosen(x), arctg(x) al 2° ordine, tg(x) al 1° ordine ed infine, nei passaggi finali, lo sviluppo del ln(x) al 1° ordine.

Si ottiene dunque:
\[{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\cos (sen(x))\ln (arcsen(x) - arctg(x) + 1)}}{{t{g^3}(x)}} = }\]
\[{ = \mathop {\lim {\mkern 1mu} }\limits_{x \to 0} [2\cos (sen(x))]\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (arcsen(x) - arctg(x) + 1)}}{{t{g^3}(x)}} = }\]
\[{ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln ([x + \frac{1}{6}{x^3} + o({x^5})] - [x - \frac{1}{3}{x^3} + o({x^5})] + 1)}}{{{{[x + o({x^3})]}^3}}} = }\]
\[ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (x + \frac{1}{6}{x^3} - x + \frac{1}{3}{x^3} + o({x^5}) + 1)}}{{{{[x + o({x^3})]}^3}}} = \]
\[ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + \frac{1}{2}{x^3} + o({x^5}))}}{{{x^3} + 3{x^2}o({x^3}) + 3x{{(o({x^3}))}^2} + {{(o({x^3}))}^3}}} = \]
\[ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + \frac{1}{2}{x^3} + o({x^5}))}}{{{x^3} + 3{x^2}o({x^3}) + 3xo({x^6}) + o({x^9})}} = \]
\[ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + \frac{1}{2}{x^3} + o({x^5}))}}{{{x^3} + o({x^5}) + o({x^7}) + o({x^9})}} = \]
\[{ = 2\cdot\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{2}{x^3} + o({x^5})}}{{{x^3} + o({x^5})}} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1}\]

Ti prego in futuro di provare con più calma ad utilizzare l'equation editor, o se preferisci un programma esterno come MathType, che produce il codice LaTex da incollare direttamente nei post di questo forum pienamente compatibile con la tecnologia LaTex.

Saluti.

PS: Poichè questo topic è relativo all'applicazione delle tecniche di calcolo dei limiti con gli sviluppi di Taylor-Landau, lo User Admin provvederà a spostarlo nella sezione del forum più appropriata modificandone il titolo in "Esercizio di calcolo di un limite con gli sviluppi di Taylor-Landau" al fine di garantirne una più corretta indicizzazione da parte dei motori di ricerca.

La Ringrazio per tale svolgimento, ma nel programma del mio esame di matematica e statistica è presente solo la dicitura "cenni teorici dello sviluppo di taylor", quindi al più qualche accenno. Non ci sarebbe qualche altro metodo per poter risolvere tale limite?

Ciao, purtroppo no! ... lo sviluppo di Taylor è la più potente tecnica esistente per il calcolo dei limiti più complessi.
Di solito infatti in tutti i corsi universitari va studiata molto bene ed è strano che nel tuo corso di laurea venga riportata nel programma solo come "cenni" !! ...
Se il testo del compito che hai postato prevede un limite di quel tipo allora ti consiglio uno studio molto accurato delle tecniche di Taylor poiché il tuo prof. potrebbe averle previste a lezione e nei compiti a prescindere da quello che risulta scritto nel programma del tuo corso di laurea disponibile sul sito della facoltà. Spesso infatti i programmi sul sito non risultano aggiornati o allineati con quello che viene poi svolto a lezione o richiesto nei compiti d'esame!

Saluti.

Ok..allora proverò a studiarla. Le volevo fare una domanda al proposito. Perchè nell'ultimo passaggio log(1/2 x alla terza ecc...), ha scritto soltanto 1/2 x alla terza?? secondo la regola di taylor ci sono altre frazioni da scrivere....

Ciao, nell'ultimo passaggio ho applicato lo sviluppo di Taylor del logaritmo troncato al 1° ordine:
\[\ln (1 + x) = x + o({x^2})\] dove la x è il nostro $\frac{1}{2}{x^3} + ...$

Saluti.