Ciao, grazie per i complimenti e benvenuto nel forum di EasyMath ITALIA !!
Riguardo alla tua domanda la risposta è la seguente:
in linea generale (salvo casi particolarissimi) il criterio con cui si tronca lo sviluppo è quello di prendere i termini dello sviluppo sufficienti per "mantenere in gioco" il calcolo del limite, senza ricascare in forma indeterminata o senza che si verifichino azzeramenti algebrici nei calcoli.
Per fare un esempio, nel caso del tuo limite, se approssimiamo il seno a numeratore con Taylor nell'intorno di zero (rispetto a 3x) e tronchiamo lo sviluppo al primo ordine, si verifica uno "zero algebrico secco" a numeratore che non ci consente di portare avanti il calcolo del limite senza comprometterne il risultato; infatti in questo caso si perderebbe quella sottile differenza che c'è tra i due termini a numeratore, 3x e sen(3x), ed è proprio quella sottile differenza a fare la differenza sul risultato del limite.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x - \sin 3x}}{{x(\ln (1 + x) - x)}} \simeq \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x - 3x}}{{x(\ln (1 + x) - x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{0}{{x(\ln (1 + x) - x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 0 = 0\;??\]
Analogamente se approssimiamo anche a denominatore il logaritmo con il suo sviluppo solo al primo ordine avremmo:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x - \sin 3x}}{{x(\ln (1 + x) - x)}} \simeq \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x - 3x}}{{x(x - x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{0}{0}\;??\]
Pertanto in questo caso l'unica possibilità minima sufficiente a "mantenere in gioco" il calcolo del limite, senza perdere quelle sottili differenze tra i due termini a numeratore e i due analoghi termini a denominatore (i responsabili della forma indeterminata), è quella di prendere una approssimazione un pò più fine del seno e del logaritmo, cioè appena di un ordine superiore:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x - \sin 3x}}{{x(\ln (1 + x) - x)}} \simeq \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x - (3x - \frac{1}{6}{{(3x)}^3})}}{{x[(x - \frac{1}{2}{x^2}) - x]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{6}{{(3x)}^3}}}{{x[ - \frac{1}{2}{x^2}]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{27}}{6}{x^3}}}{{ - \frac{1}{2}{x^3}}} = \frac{{27}}{6}( - 2) = - 9\]
Se a numeratore ad esempio fosse stato presente nel testo iniziale un termine del 3° ordine allora sarebbe stato necessario approssimare il seno con un ordine appena superiore (5°) per scongiurare zeri algebrici o compromissioni del risultato del limite!
Saluti.
