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\[\lim_{x\to0\dotplus } (\tfrac{2x^{2\alpha }}{tan(senx)} + \frac{3x^{2\alpha }}{ln(1-x)}) * (1-cos(\frac{1}{x\alpha }))\]

buongiorno sto risolvendo questo limite applicando gli spiluppi di taylor, il problema nasce per studiare il limite al variare di alfa...in pratica devo fare tre casi? con alfa = 0 , 1, -1? grazie mille saluti..

Perchè dovresti studiare i casi di $\alpha $ = 0,1,-1 ?? ...

Prima di tutto per $\alpha $ = 0 il limite perde significato e quindi non esiste.
Per la discussione parametrica degli altri possibili valori di $\alpha $ occorrerà prima approssimare con Taylor le funzioni goniometriche e logaritmica per poi ricondursi a una espressione razionale che permette di discutere il calcolo del limite al variare del parametro nel seguente modo:
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (\frac{{2{x^{2\alpha }}}}{{tg(sen(x))}} + \frac{{3{x^{2\alpha }}}}{{\ln (1 - x)}})(1 - cos(\frac{1}{{x\alpha }}) = \\
\cong \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (\frac{{2{x^{2\alpha }}}}{x} + \frac{{3{x^{2\alpha }}}}{{ - x}})(1 - cos(\frac{1}{{x\alpha }}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (2{x^{2\alpha - 1}} - 3{x^{2\alpha - 1}})(1 - cos(\frac{1}{{x\alpha }}) = \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ( - {x^{2\alpha - 1}})(1 - cos(\frac{1}{{x\alpha }}) = *
\end{array}\]
osservando che l'espressione \[(1 - cos(\frac{1}{{x\alpha }})\] oscilla tra 0 e 2 (si mantiene quindi limitata!) poichè il coseno oscilla tra -1 e 1 con il suo argomento che tende a infinito (a prescindere da alfa), ne segue che:
\[* = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \to \;\;\;2\alpha - 1 > 0\;\;\; \to \;\;\;\alpha > \frac{1}{2}}\\
{ - \infty \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \to \;\;\;2\alpha - 1 < 0\;\;\; \to \;\;\;\alpha < \frac{1}{2}\;\; \wedge \;\;\alpha \ne 0}\\
{\not \exists \;(oscilla)\;\;\;\;\; \to \;\;\;2\alpha - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;\alpha = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\]
Saluti.