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\[\lim_{n \to 00} (\sqrt[7]{\frac{2+3n}{3n-5}} + \sqrt[5]{\frac{3n-20}{3n-5}})\]

salve sono bloccato con il seguente limite che mi chiede di calcolare lo sviluppo asintotico delle due radici e poi di trovare il valore del limite...solo che i sviluppi di taylor si possono usare soltanto per x tende a 0...quindi in questo caso devo sostituire o cosa? grazie saluti

Ciao, non è chiaro a cosa serve calcolare gli sviluppi asintotici di Taylor nel caso di un limite banale come questo!! ...
infatti il limite si conclude immediatamente con le normali tecniche di calcolo dei limiti:
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mkern 1mu} [\sqrt[7]{{\frac{{2 + 3n}}{{3n - 5}}}} + \sqrt[5]{{\frac{{3n - 20}}{{3n - 5}}}}] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mkern 1mu} [\sqrt[7]{{\frac{{n(\frac{2}{n} + 3)}}{{n(3 - \frac{5}{n})}}}} + \sqrt[5]{{\frac{{n(3 - \frac{{20}}{n})}}{{n(3 - \frac{5}{n})}}}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mkern 1mu} [\sqrt[7]{{\frac{{\frac{2}{n} + 3}}{{3 - \frac{5}{n}}}}} + \sqrt[5]{{\frac{{3 - \frac{{20}}{n}}}{{3 - \frac{5}{n}}}}}] = \sqrt[7]{{\frac{{0 + 3}}{{3 - 0}}}} + \sqrt[5]{{\frac{{3 - 0}}{{3 - 0}}}} = \sqrt[7]{1} + \sqrt[5]{1} = 1 + 1 = 2\]
Nel caso si volesse comunque calcolare gli sviluppi asintotici dei due termini radicali occorre effettuare una sostituzione per crearsi una nuova variabile che tende a zero per n che tende a infinito; in questo modo sarà possibile applicare gli sviluppi di Taylor rispetto alla nuova variabile nell'intorno di zero.

Ad esempio per la prima radice si avrebbe:
\[\sqrt[7]{{\frac{{2 + 3n}}{{3n - 5}}}} = \sqrt[7]{{\frac{{3n - 5 + 7}}{{3n - 5}}}} = \sqrt[7]{{1 + \frac{7}{{3n - 5}}}} = \sqrt[7]{{1 + t}} \approx \;...\] con \[\frac{7}{{3n - 5}} = t \to 0\;\;\;(t \to \infty )\]
analogamente per la seconda radice ...

Saluti.