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\[\lim_{x \rightarrow \infty } x^{2}*(x*sen(\frac{1}{x})-ln(\frac{x^{2}}{x^{2}+2})-1)\]

Buongiorno mi vedo in difficolta con questo limite perchè io ho sviluppato al secondo ordine il sen e portando alla -1 l'argomento del ln ho sviluppato al primo ordine anche lui..il mio problema sta nel concludere il sviluppo del ln e nella x che tende all'infinito: si può usare comunque gli sviluppi di taylor anche con x tende all'infinito o è come avere n che tende all'infinito? grazie mille..

Ciao, puoi utilizzare Taylor solo nell'intorno di punti al finito! ... pertanto si rende necessario un cambio di variabile nel seguente modo:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^2}[x\,sen(\frac{1}{x}) - ln(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2}}) - 1] = [\infty \, \cdot 0]\]
\[\begin{array}{l}
t = \frac{1}{x}\;\;\; \to \;\;\;x = \frac{1}{t}\\
x \to \infty \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;t \to 0
\end{array}\]
dunque si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^2}[x\,sen(\frac{1}{x}) - ln(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2}}) - 1] = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{1}{{{t^2}}}[\frac{1}{t}\,sen(t) - ln(\frac{{\frac{1}{{{t^2}}}}}{{\frac{1}{{{t^2}}} + 2}}) - 1] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{1}{{{t^2}}}[\frac{1}{t}\,sen(t) - ln(\frac{{\frac{1}{{{t^2}}}}}{{\frac{{1 + 2{t^2}}}{{{t^2}}}}}) - 1] = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{1}{{{t^2}}}[\frac{1}{t}\,sen(t) - ln(\frac{1}{{{t^2}}}\frac{{{t^2}}}{{1 + 2{t^2}}}) - 1] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{1}{{{t^2}}}[\frac{1}{t}\,sen(t) - ln(\frac{1}{{1 + 2{t^2}}}) - 1] = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{1}{{{t^2}}}[\frac{1}{t}\,sen(t) + ln(1 + 2{t^2}) - 1] = \,...\]
a questo punto è chiaro come applicare Taylor nell'intorno di zero rispetto alla variabile t e alle sue composizioni ...

Saluti.