Ciao, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + {x^3})}^{\frac{1}{{{x^2}}}}} - {e^x} + cos({x^2}) - 1}}{{{x^4}}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right]\]
conviene prima di tutto spezzare il calcolo del limite in 2 limiti (con la proprietà limite della somma) per semplificare il calcolo e soprattutto per evitare di dover mettere a confronto diretto gli sviluppi di Taylor relativi all'esponenziale con quelli relativi al coseno; a patto naturalmente di non cascare nella forma indeterminata +infinito-infinito che non farebbe funzionare la proprietà limite della somma ... si ha quindi:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + {x^3})}^{\frac{1}{{{x^2}}}}} - {e^x} + cos({x^2}) - 1}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + {x^3})}^{\frac{1}{{{x^2}}}}} - {e^x}}}{{{x^4}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{cos({x^2}) - 1}}{{{x^4}}} = \]
occorre prima di tutto nel primo limite trasformare l'esponenziale a base variabile in esponenziale a base fissa con la solita manovra che introduce il logaritmo e poi applicare tutti gli sviluppi di Taylor fino al secondo termine per mantenere in gioco tutti i termini infinitesimi di grado confrontabili direttamente con ${{x^4}}$ ... si ha quindi:
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\frac{1}{{{x^2}}}\ln (1 + {x^3})}} - {e^x}}}{{{x^4}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{[1 - \frac{1}{2}{x^4} + o({x^4})] - 1}}{{{x^4}}} = \]
raccogliamo ora l'esponenziale e con la proprietà delle potenze si ha:
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}({e^{\frac{1}{{{x^2}}}\ln (1 + {x^3}) - x}} - 1)}}{{{x^4}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \frac{1}{2}{x^4} + o({x^4})}}{{{x^4}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}({e^{\frac{1}{{{x^2}}}[{x^3} - \frac{1}{2}{x^6} + o({x^6})] - x}} - 1)}}{{{x^4}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^4}( - \frac{1}{2} + \frac{{o({x^4})}}{{{x^4}}})}}{{{x^4}}} = \]
\[ = [\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}({e^{x - \frac{1}{2}{x^4} + o({x^4}) - x}} - 1)}}{{{x^4}}}] + [ - \frac{1}{2}] = \]
\[ = [\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}({e^{ - \frac{1}{2}{x^4} + o({x^4})}} - 1)}}{{{x^4}}}] + [ - \frac{1}{2}] = \;[*] + [ - \frac{1}{2}] = **\]
calcoliamo dunque da parte il primo limite sviluppando con Taylor l'esponenziale (qui è sufficiente lo sviluppo al 1° termine in quanto ci basta per mantenere in gioco la x di 4° grado) ...
\[* = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}([1 - \frac{1}{2}{x^4} + o({x^4})] - 1)}}{{{x^4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}( - \frac{1}{2}{x^4} + o({x^4}))}}{{{x^4}}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}{x^4}( - \frac{1}{2} + \frac{{o({x^4})}}{{{x^4}}})}}{{{x^4}}} = {e^0}( - \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}\]
pertanto il calcolo finale sarà:
\[** = \;[ - \frac{1}{2}] + [ - \frac{1}{2}] = - 1\]
Saluti.
da nikop1993 » 11/09/2013, 17:43 
