Come risolvere questo limite

[Lucs]

Ciao, non so come muovermi per affrontare questo limite:

\[\lim_{x\rightarrow0 }\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\tan ^{2}x}\]

Non riesco ad uscire dalla forma indeterminata. Il risultato dovrebbe essere 2/3.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, ... \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{t{g^2}(x)}}] = \frac{1}{{{0^ + }}} - \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty - \infty \]
il limite, apparentemente semplice, non è possibile affrontarlo con le normali tecniche di calcolo dei limiti mediante i limiti notevoli;
si ricascherebbe sempre in forma indeterminata!

Occorre dunque ricorrere alle più potenti tecniche di calcolo mediante gli sviluppi di Taylor-Landau; ecco lo svolgimento dettagliato:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{t{g^2}(x)}}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{{(x + \frac{1}{3}{x^3} + o({x^3}))}^2}}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{1}{9}{x^6} + o({x^6}) + \frac{2}{3}{x^4} + 2x\,o({x^3}) + \frac{2}{3}{x^3}o({x^3})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{1}{9}{x^6} + o({x^6}) + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}) + o({x^6})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}) + \frac{1}{9}{x^6} + o({x^6}) + o({x^6})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4})}}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{{{x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}) - {x^2}}}{{{x^2}({x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}))}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{{\frac{2}{3}{x^4} + o({x^4})}}{{{x^4} + \frac{2}{3}{x^6} + o({x^6})}}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{{{x^4}(\frac{2}{3} + \frac{{o({x^4})}}{{{x^4}}})}}{{{x^4}(1 + \frac{2}{3}\frac{{{x^6}}}{{{x^4}}} + \frac{{o({x^6})}}{{{x^4}}})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{{\frac{2}{3} + \frac{{o({x^4})}}{{{x^4}}}}}{{1 + \frac{2}{3}{x^2} + \frac{{o({x^6})}}{{{x^6}}}{x^2}}}] = \frac{{\frac{2}{3}}}{1} = \frac{2}{3}\]
Saluti.

PS: Considerata la natura di questo limite, relativo alle tecniche di sviluppi di Taylor-Landau, è più opportuno spostare il topic nella categoria più appropriata. Lo User Admin provvederà allo spostamento.

[Lucs]

Cavolo, non mi aspettavo si dovesse risolvere addirittura con gli sviluppi...

Grazie mille

[maurizio.schirinzi]

Eh si !! ... questo tuo limite è interessante e utile per capire il perché in certi casi, apparentemente semplici, e necessario utilizzare gli sviluppi di Taylor!

Dato che in questi giorni stiamo producendo i video relativi a questo argomento, il limite verrà svolto completamente in un video-tutorials disponibile nei prossimi giorni!

A presto.