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Ciao, non so come muovermi per affrontare questo limite:

\[\lim_{x\rightarrow0 }\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\tan ^{2}x}\]

Non riesco ad uscire dalla forma indeterminata. Il risultato dovrebbe essere 2/3.

Ciao, ... \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{t{g^2}(x)}}] = \frac{1}{{{0^ + }}} - \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty - \infty \]
il limite, apparentemente semplice, non è possibile affrontarlo con le normali tecniche di calcolo dei limiti mediante i limiti notevoli;
si ricascherebbe sempre in forma indeterminata!

Occorre dunque ricorrere alle più potenti tecniche di calcolo mediante gli sviluppi di Taylor-Landau; ecco lo svolgimento dettagliato:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{t{g^2}(x)}}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{{(x + \frac{1}{3}{x^3} + o({x^3}))}^2}}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{1}{9}{x^6} + o({x^6}) + \frac{2}{3}{x^4} + 2x\,o({x^3}) + \frac{2}{3}{x^3}o({x^3})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{1}{9}{x^6} + o({x^6}) + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}) + o({x^6})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}) + \frac{1}{9}{x^6} + o({x^6}) + o({x^6})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4})}}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{{{x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}) - {x^2}}}{{{x^2}({x^2} + \frac{2}{3}{x^4} + o({x^4}))}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{{\frac{2}{3}{x^4} + o({x^4})}}{{{x^4} + \frac{2}{3}{x^6} + o({x^6})}}] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{{{x^4}(\frac{2}{3} + \frac{{o({x^4})}}{{{x^4}}})}}{{{x^4}(1 + \frac{2}{3}\frac{{{x^6}}}{{{x^4}}} + \frac{{o({x^6})}}{{{x^4}}})}}] = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,[\frac{{\frac{2}{3} + \frac{{o({x^4})}}{{{x^4}}}}}{{1 + \frac{2}{3}{x^2} + \frac{{o({x^6})}}{{{x^6}}}{x^2}}}] = \frac{{\frac{2}{3}}}{1} = \frac{2}{3}\]
Saluti.

PS: Considerata la natura di questo limite, relativo alle tecniche di sviluppi di Taylor-Landau, è più opportuno spostare il topic nella categoria più appropriata. Lo User Admin provvederà allo spostamento.

Cavolo, non mi aspettavo si dovesse risolvere addirittura con gli sviluppi...

Grazie mille

Eh si !! ... questo tuo limite è interessante e utile per capire il perché in certi casi, apparentemente semplici, e necessario utilizzare gli sviluppi di Taylor!

Dato che in questi giorni stiamo producendo i video relativi a questo argomento, il limite verrà svolto completamente in un video-tutorials disponibile nei prossimi giorni!

A presto.