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Ciao
Mi aiutate con questo esercizio?

Utilizzando il confronto tra infinitesimi risolvere il seguente limite:
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3\sqrt{x}+sin(x^2)+ln(1+x)}{x+\sqrt{{e}^{4x}-1}}\]

ho utilizzato gli sviluppi di Taylor fino al secondo ordine

per \[sin(x^2)= x^2\]

per \[ln(1+x)= x-\frac{x^2}{2}\]

per \[\sqrt{{e}^{4x}-1}\] ho un problema: la derivata prima mi da \[\frac{2{e}^{4x}}{\sqrt{{e}^{4x}-1}} \] e sostituendo alla x lo zero non posso ottenere un valore.
Come devo andare avanti?
Dove sbaglio ?

grazie mille

Cosa c'entra la derivata della funzione $\sqrt{{e}^{4x}-1}$ ??

Per applicare gli sviluppi di Taylor devi approssimare le singole funzioni elementari della tabella degli sviluppi di Taylor e non calcolare gli sviluppi di Taylor di funzioni complesse facendo derivate ecc...

Nel caso di funzioni composte basta applicare gli sviluppi delle funzioni elementari partendo prima da quelle "più interne" e poi su quelle più "esterne"!!

Ti consiglio di guardare i moltissimi video-tutorials della relativa playlist di esercizi sugli sviluppi di Taylor per comprendere bene le tecniche da utilizzare sulle funzioni più complesse e composte. Sfogliando i contenuti della playlist troverai molti esercizi simili al tuo. Ecco il link della playlist:

Analisi 1 >> Limiti >> Calcolo di Limiti >> Limiti Vari con tecniche di Sviluppi di Taylor >> Sviluppi di Taylor con simboli di Landau

Saluti.

Faccio le derivate perchè ogni volta mi vado a calcolare gli sviluppi

nel caso di prima dovrei fare lo sviluppo di \[{e}^{4x}\]
e poi metterlo sotto la radice come nel testo?

grazie mille

Gli sviluppi di Taylor non bisogna calcolarli ogni volta !! ... sono sviluppi di funzioni fondamentali (come i limiti notevoli) e vanno imparati a memoria o comunque presi dalla tabella delgi sviluppi fondamentali. Con la tabella degli sviluppi fondamentali si riescono a risolvere il 99% dei limiti più complessi per composizione di funzione e quindi di sviluppi di Taylor.

Si! ... devi approssimare prima la funzione ${e}^{4x}$ e poi la radice dopo! ... Guarda i video-tutorials che ti ho indicato!

Saluti.