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salve avrei bisogno del suo aiuto con questo esercizio:

Si studi la seguente disequazione:

\[\sqrt {\pi - arcsen(\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right|)} \;{\log _{\frac{1}{2}}}({2^{2x}} - 4 \cdot {2^x} + 4) \le 0\]


grazie.

Ciao,
\[\sqrt {\pi - arcsen(\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right|)} \;{\log _{\frac{1}{2}}}({2^{2x}} - 4 \cdot {2^x} + 4) \le 0\]
per risolvere la disequazione occorre prima di tutto impostare il CE (campo di esistenza o condizioni di esistenza)
\[CE:\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \ne 0\;\;\; \to \;\;\;x \ne 1\\
\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right| \le 1\;\;\; \to \;\;\; - 1 \le \frac{x}{{x - 1}} \le 1\\
\pi - arcsen(\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right|) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;arcsen(\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right|) \le \pi \\
{2^{2x}} - 4 \cdot {2^x} + 4 > 0\;\;\;\mathop \to \limits^{t = {2^x}} \;\;\;{t^2} - 4t + 4 > 0\;\; \to \;\;{(t - 2)^2} > 0
\end{array} \right.\]
da cui risolvendo le disequazioni e intersecando il sistema (lascio a te i calcoli più banali) si ha
\[\left\{ {\left. \begin{array}{l}
x - 1 \ne 0\;\;\; \to \;\;\;x \ne 1\\
- 1 \le \frac{x}{{x - 1}} \le 1\;\; \to \;\;\left\{ {\left. \begin{array}{l}
\frac{x}{{x - 1}} \ge - 1\\
\frac{x}{{x - 1}} \le 1
\end{array} \right\}\;...\; \to \;\;\left\{ {\left. \begin{array}{l}
x < 1\\
x \le \frac{1}{2}\; \vee \;\;x > 1
\end{array} \right\}\;\; \to \;\;x \le \frac{1}{2}} \right.} \right.\\
arcsen(\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right|) \le \pi \;\;\; \to \;\;\;\forall x \in R,\;\;\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right| \le 1\;\;\; \to \;\;\;x \le \frac{1}{2}\\
{(t - 2)^2} > 0\;\;\; \to \;\;\;\forall \,t \ne 2\;\;\; \to \;\;\;\forall \,{2^x} \ne 2\;\;\; \to \;\;\;\forall \,x \ne 1
\end{array} \right\}} \right.\;\; \to \;\;x \le \frac{1}{2}\]
pertanto il campo di esistenza sarà
\[CE = \{ \;x \in R,\;x \le \frac{1}{2}\;\} \]
a questo punto studiamo il segno dei due fattori a primo fattore della disequazione

per il primo si ha
\[\sqrt {\pi - arcsen(\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right|)} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in CE\]
per il secondo si ha
\[{\log _{\frac{1}{2}}}({2^{2x}} - 4 \cdot {2^x} + 4) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;{\log _{\frac{1}{2}}}({2^{2x}} - 4 \cdot {2^x} + 4) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}(1)\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;{2^{2x}} - 4 \cdot {2^x} + 4 \le 1\;\;\; \to \;\;\;{2^{2x}} - 4 \cdot {2^x} + 3 \le 0\;\;\;\mathop \to \limits^{t = {2^x}} \;\;\;{t^2} - 4t + 3 \le 0\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;1 \le t \le 3\;\;\; \to \;\;\;1 \le {2^x} \le 3\;\;\; \to \;\;\;{2^0} \le {2^x} \le {2^{{{\log }_2}(3)}}\;\;\; \to \;\;\;0 \le x \le {\log _2}(3)\]
pertanto tenendo conto anche del CE abbiamo
\[\sqrt {\pi - arcsen(\left| {\frac{x}{{x - 1}}} \right|)} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\forall x \in CE\;\;\;\;(x \le \frac{1}{2})\]
\[{\log _{\frac{1}{2}}}({2^{2x}} - 4 \cdot {2^x} + 4) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;0 \le x \le {\log _2}(3)\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;\left\{ {\left. \begin{array}{l}
0 \le x \le {\log _2}(3)\\
x \le \frac{1}{2}\;\;\;(CE)
\end{array} \right\}} \right.\;\;\; \to \;\;\;0 \le x \le {\log _2}(3)\]
e quindi sarà anche
\[{\log _{\frac{1}{2}}}({2^{2x}} - 4 \cdot {2^x} + 4) < 0\;\;\; \to \;\;\;x < 0\]
ne segue, dal prodotto dei segni dei fattori a primo membro, che la disequazione è verificata sulla domanda del $ \le 0$ per
\[x \le 0\]

Saluti.