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Sistema di 4 equazioni in 4 incognite

Forum di discussione su argomenti di sistemi di 2° grado di equazioni algebriche razionali intere polinomiali numeriche.
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Sistema di 4 equazioni in 4 incognite

Messaggioda ascaplboh » 06/12/2013, 18:49

Qualcuno è in grado di risolvermi questo sistema che deriva dall'applicazione dei moltiplicatori di Lagrange ad un problema di max e minimo.
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - \lambda x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]

Sistema di quattro equazioni, ma non so scriverlo come un sistema qui.

[EDIT Admin] Correzione codice LaTex di formattazione delle formule.
ascaplboh
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Re: Sistema di 4 equazioni in 4 incognite

Messaggioda maurizio.schirinzi » 06/12/2013, 19:40

Ciao,
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - \lambda x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(1 - \lambda ) = 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;x = 0\;\; \vee \;\;\lambda = 1\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
\lambda = 1\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
risolviamo il primo sistema, l'altro si farà in modo analogo:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y + 2\lambda ( - 2\lambda y) = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y(1 - 4{\lambda ^2}) = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y = 0\; \vee \;\lambda = \pm \frac{1}{2}\\
0 + {(4{\lambda ^2}y)^2} + {( - 2\lambda y)^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y = 0\\
16{\lambda ^4}{y^2} + 4{\lambda ^2}{y^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \pm \frac{1}{2}\\
16{\lambda ^4}{y^2} + 4{\lambda ^2}{y^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = 0\\
y = 0\\
0 = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
4{\lambda ^4}{y^2} + {\lambda ^2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
4{\lambda ^4}{y^2} + {\lambda ^2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
4{\lambda ^4}{y^2} + {\lambda ^2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
4{\lambda ^4}{y^2} + {\lambda ^2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
(4{\lambda ^4} + {\lambda ^2}){y^2} = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
(4{\lambda ^4} + {\lambda ^2}){y^2} = 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = \mp \sqrt 2 \\
\lambda = \frac{1}{2}\\
y = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = \mp \sqrt 2 \\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
y = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\]

Prova a risolvere l'altro sistema con la stessa tecnica ...

A presto. ;)


NB: Questo topic sarebbe più appropriato nella sezione "Sistemi di Equazioni Polinomiali". Lo User Admin provvederà allo spostamento.


[EDIT] Errore: vedi post successivo!
Ultima modifica di maurizio.schirinzi il 06/12/2013, 21:02, modificato 1 volta in totale.
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Re: Sistema di 4 equazioni in 4 incognite

Messaggioda ascaplboh » 06/12/2013, 20:31

Scusami, ma alla quarta equazione perchè sostituisci alla \[y=4\lambda ^{2}y\] ?
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Re: Sistema di 4 equazioni in 4 incognite

Messaggioda maurizio.schirinzi » 06/12/2013, 20:58

Hai ragione, scusami, ho fatto un copia e incolla di troppo da una equazione all'altra! ;)

Ti riposto lo svolgimento corretto:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - \lambda x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(1 - \lambda ) = 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;x = 0\;\; \vee \;\;\lambda = 1\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
\lambda = 1\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
svolgiamo il primo sistema, l'altro si farà in modo analogo:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y + 2\lambda ( - 2\lambda y) = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y(1 - 4{\lambda ^2}) = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y = 0\; \vee \;\lambda = \pm \frac{1}{2}\\
0 + {y^2} + {( - 2\lambda y)^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y = 0\\
{y^2} + 4{\lambda ^2}{y^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \pm \frac{1}{2}\\
{y^2} + 4{\lambda ^2}{y^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = 0\\
y = 0\\
0 = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
(1 + 4{\lambda ^2}){y^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
(1 + 4{\lambda ^2}){y^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
2{y^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
2{y^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
{y^2} = 2
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
{y^2} = 2
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = \mp \sqrt 2 \\
\lambda = \frac{1}{2}\\
y = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = \mp \sqrt 2 \\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
y = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\]

Ora mi sembra che dovrebbe andar bene!

A presto. ;)
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Re: Sistema di 4 equazioni in 4 incognite

Messaggioda ascaplboh » 06/12/2013, 21:35

Potresti scrivermi le terne di soluzioni che si ottengono per il caso x=0? So che é una richiesta stupida ma non mi sto ritrovando con le soluzioni che ho!
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Re: Sistema di 4 equazioni in 4 incognite

Messaggioda maurizio.schirinzi » 06/12/2013, 21:45

Se non ci sono altri errori nel mio ultimo post le quaterne di soluzioni dovrebbero essere le seguenti:
\[\begin{array}{l}
(x,y,z,\lambda ) = (0,\sqrt 2 , - \sqrt 2 ,\frac{1}{2})\\
(x,y,z,\lambda ) = (0, - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ,\frac{1}{2})\\
(x,y,z,\lambda ) = (0,\sqrt 2 , - \sqrt 2 , - \frac{1}{2})\\
(x,y,z,\lambda ) = (0, - \sqrt 2 ,\sqrt 2 , - \frac{1}{2})
\end{array}\]
Che soluzioni ti vengono? ... o meglio che soluzioni dovrebbero venire?
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Re: Sistema di 4 equazioni in 4 incognite

Messaggioda ascaplboh » 06/12/2013, 22:16

Errore mio! Corrisponde tutto!Grazie mille
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