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Qualcuno è in grado di risolvermi questo sistema che deriva dall'applicazione dei moltiplicatori di Lagrange ad un problema di max e minimo.
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - \lambda x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]

Sistema di quattro equazioni, ma non so scriverlo come un sistema qui.

[EDIT Admin] Correzione codice LaTex di formattazione delle formule.

Ciao,
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - \lambda x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(1 - \lambda ) = 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;x = 0\;\; \vee \;\;\lambda = 1\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
\lambda = 1\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
risolviamo il primo sistema, l'altro si farà in modo analogo:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y + 2\lambda ( - 2\lambda y) = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y(1 - 4{\lambda ^2}) = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y = 0\; \vee \;\lambda = \pm \frac{1}{2}\\
0 + {(4{\lambda ^2}y)^2} + {( - 2\lambda y)^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y = 0\\
16{\lambda ^4}{y^2} + 4{\lambda ^2}{y^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \pm \frac{1}{2}\\
16{\lambda ^4}{y^2} + 4{\lambda ^2}{y^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = 0\\
y = 0\\
0 = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
4{\lambda ^4}{y^2} + {\lambda ^2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
4{\lambda ^4}{y^2} + {\lambda ^2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
4{\lambda ^4}{y^2} + {\lambda ^2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
4{\lambda ^4}{y^2} + {\lambda ^2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
(4{\lambda ^4} + {\lambda ^2}){y^2} = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
(4{\lambda ^4} + {\lambda ^2}){y^2} = 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}{y^2} = 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = \mp \sqrt 2 \\
\lambda = \frac{1}{2}\\
y = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = \mp \sqrt 2 \\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
y = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\]

Prova a risolvere l'altro sistema con la stessa tecnica ...

A presto.


NB: Questo topic sarebbe più appropriato nella sezione "Sistemi di Equazioni Polinomiali". Lo User Admin provvederà allo spostamento.


[EDIT] Errore: vedi post successivo!

Scusami, ma alla quarta equazione perchè sostituisci alla \[y=4\lambda ^{2}y\] ?

Hai ragione, scusami, ho fatto un copia e incolla di troppo da una equazione all'altra!

Ti riposto lo svolgimento corretto:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x - \lambda x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x(1 - \lambda ) = 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;x = 0\;\; \vee \;\;\lambda = 1\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
\lambda = 1\\
z + 2\lambda y = 0\\
y + 2\lambda z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
svolgiamo il primo sistema, l'altro si farà in modo analogo:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y + 2\lambda ( - 2\lambda y) = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y(1 - 4{\lambda ^2}) = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y = 0\; \vee \;\lambda = \pm \frac{1}{2}\\
0 + {y^2} + {( - 2\lambda y)^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
y = 0\\
{y^2} + 4{\lambda ^2}{y^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \pm \frac{1}{2}\\
{y^2} + 4{\lambda ^2}{y^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = 0\\
y = 0\\
0 = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
(1 + 4{\lambda ^2}){y^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
(1 + 4{\lambda ^2}){y^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
2{y^2} = 4
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - 2\lambda y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
2{y^2} = 4
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = - y\\
\lambda = \frac{1}{2}\\
{y^2} = 2
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = y\\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
{y^2} = 2
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }\\
{\not \exists }
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = \mp \sqrt 2 \\
\lambda = \frac{1}{2}\\
y = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
z = \mp \sqrt 2 \\
\lambda = - \frac{1}{2}\\
y = \pm \sqrt 2
\end{array} \right.\]

Ora mi sembra che dovrebbe andar bene!

A presto.

Potresti scrivermi le terne di soluzioni che si ottengono per il caso x=0? So che é una richiesta stupida ma non mi sto ritrovando con le soluzioni che ho!

Se non ci sono altri errori nel mio ultimo post le quaterne di soluzioni dovrebbero essere le seguenti:
\[\begin{array}{l}
(x,y,z,\lambda ) = (0,\sqrt 2 , - \sqrt 2 ,\frac{1}{2})\\
(x,y,z,\lambda ) = (0, - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ,\frac{1}{2})\\
(x,y,z,\lambda ) = (0,\sqrt 2 , - \sqrt 2 , - \frac{1}{2})\\
(x,y,z,\lambda ) = (0, - \sqrt 2 ,\sqrt 2 , - \frac{1}{2})
\end{array}\]
Che soluzioni ti vengono? ... o meglio che soluzioni dovrebbero venire?

Errore mio! Corrisponde tutto!Grazie mille