Determinare il punto P in modo che l'area del trapezio sia pari a 6

[vinx91ct]

Salve a tutti,

ho passato un intero pomeriggio su questo problema e purtroppo non riesco a risolverlo neppure dall'inizio (non so proprio come devo impostare la soluzione). Posto il testo nella speranza che qualcuno possa spiegarmi qual è il procedimento logico e matematico da seguire, così che possa prendere spunto per i prossimi problemi simili a questo:

Siano date le rette :y=-x-2 e :y=k con . Sia il punto di intersezione di e . Determinare in modo che l'area del trapezio delimitato da ,, e sia pari a .

Grazie in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Ciao, occorre prima di tutto determinare i 4 vertici del trapezio delimitato dalle 2 rette e dagli assi cartesiani, tutto in funzione di k.
\[\begin{array}{l}
(r)\;y = - x - 2\\
(s)\;\;y = k\\
k > 0
\end{array}\]
Indicando con P l'intersezione tra le due rette (r e s), con T l'intersezione della retta s con l'asse y, con Q l'intersezione della retta r con l'asse x, e con O l'origine, si ha:
Mettendo sistema le due rette si trovano le coordinate di P in funzione di k:
\[\left\{ \begin{array}{l}
(r)\;y = - x - 2\\
y = k
\end{array} \right.\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;P( - k - 2,k)\]
analogamente per gli altri punti:
\[\left\{ \begin{array}{l}
(s)\;\;y = k\\
x = 0
\end{array} \right.\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;T(0,k)\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
(r)\;y = - x - 2\\
y = 0
\end{array} \right.\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;Q( - 2,0)\]
\[O(0,0)\]
Applicando ora la nota formula per il calcolo dell'area del trapezio e calcolando i segmenti che servono con la solita formula della distanza tra punti si ha:
\[A = \frac{{(\overline {PT} + \overline {QO} )\overline { \cdot TO} }}{2} = \;...\; = A(k)\]
si otterrà quindi una espressione funzione di k per l'area del trapezio da cui, imponendo la condizione Area = 6, si ha:
\[A(k) = 6\;\;\; \to \;\;\;k = \;...\]
da questa equazione si ricava quindi il valore di k cercato ricordando che k deve essere >0 per ipotesi e dunque eventuali altri valori negativi che dovessero venire come soluzioni dell'equazione andranno scartati!

Saluti.


PS: Poichè questo topic risulterebbe più adatto alla categoria "Problemi Generali di Geometria Analitica >> Problemi Vari" lo user Admin provvederà al più presto allo spostamento.

[vinx91ct]

Leggo solo ora il messaggio di risposta, quindi innanzitutto è doveroso dirti grazie del procedimento. Qualcosa sono riuscito a capirla, ma non ancora del tutto. In particolare, quando dici:

[...] Applicando ora la nota formula per il calcolo dell'area del trapezio e calcolando i segmenti che servono con la solita formula della distanza tra punti si ha:
A=(PT+QO)⋅TO/2=...=A(k)

Bene, la mia prima ed unica domanda è: come faccio a capire che PT è la base maggiore del trapezio, QO la base minore e TO l'altezza se non posso disegnarli in un grafico, visto che al momento non so quanto vale k?

Il resto del procedimento dovrebbe essere corretto e lo trascrivo per chiunque abbia eventuali dubbi (e anche per essere corretto a mia volta nel caso in cui ci fossero errori).

Andiamo avanti. Calcoliamo [...] i segmenti che servono con la solita formula della distanza tra punti [...]

La distanza tra due punti generici (A,B) è

A questo punto sostituendo ai valori generici della formula i valori che abbiamo trovato, otteniamo:







Riscriviamo per bene la formula dell'area del trapezio accompagnata dai valori che abbiamo appena trovato:



[...] si otterrà quindi una espressione funzione di k per l'area del trapezio da cui, imponendo la condizione Area = 6, si ha [...]:



[...] da questa equazione si ricava quindi il valore di k cercato [...]



Applico il e trovo due soluzioni:

[...] ricordando che k deve essere >0 per ipotesi e dunque eventuali altri valori negativi che dovessero venire come soluzioni dell'equazione andranno scartati! [...]

Scartiamo allora il -3 e ci rimane il 2. A questo punto sostituiamo il 2 a k e poiché a noi interessa sapere quanto vale P (punto di intersezione delle rette r ed s) abbiamo che



La domanda rimane sempre la stessa.

[maurizio.schirinzi]

Prova a disegnare la retta fissa y=-x-2 e il fascio di rette parallele orizzontali y=k ricordando che è k>0 e vedrai che il fascio di trapezi che ne deriverebbe sarà sempre con la stessa base maggiore e la stessa base minore.

In geometria analitica è molto importante, specialmente per questo tipo di problemi, aiutarsi sempre con il disegno! ...
... disegnare, disegnare e ancora disegnare tutte le entità geometriche note nel piano cartesiano, per dedurre quindi tutte le informazioni logiche (che scaturiscono dai dati del problema) necessarie per impostare un corretto procedimento.

Saluti.

[vinx91ct]

Mai vista risposta più veloce di questa.

Adesso sì che posso dire di aver capito al 100%. Avevo già intuito la risposta, ma non ne ero sicuro. Grazie e alla prossima.