Area del trapezio

[RBPope1938]

Pubblico un problemino di geometria analitica. Fino a questo momento, mi sono sempre risultati trovando le intersezioni e calcolando l'area, ma stavolta trovo difficoltà in quanto l'area, risultandomi un'equazione di secondo grado, non mi da un delta dal quadrato perfetto o calcolabile. Magari sbaglierò qualcosa....

" Siano date le rette r ed esse aventi rispettivamente equazione \[y=4x+5\] e \[y=K\] con \[K\] compreso nell'intervallo \[\sqsupset 0 ; 5\sqsubset\] .
Per quale valore di \[K\], se esiste, l'area del trapezio delimitato da r, s, x e y vale \[\frac{21}{8}\]?"

dato che il trapezio è sul secondo quadrante, devo considerare il valori in negativo? Ho sempre considerato i valori delle aree e le distanze tra i punti sempre come un valore assoluto, e fin'adesso, ho sempre riscontrato una soluzione positiva...ma stavolta no.

Grazie

[RBPope1938]

ho scritto con l'equation editor ma non pensavo venisse fuori su più righe. Mi scuso per la forma poco ordinata che n'è venuta fuori. Ho cercato il mathtype ma ho solo trovato la versione a pagamento...
grazie e a presto

[maurizio.schirinzi]

Ciao, quando calcoli le distanze tra punti nel piano cartesiano le distanze sono per definizione sempre positive e quindi tutte le relative formule dovranno essere già positive o prese sempre in valore assoluto!
Nel tuo caso calcolando i punti di intersezione delle rette che definiscono i vertici del trapezio si ottiene:
\[O(0,0)\;\;\;\;\;A( - \frac{5}{4},0)\;\;\;\;\;B(\frac{{k - 5}}{4},k)\;\;\;\;\;C(0,k)\]
Calcolando ad esempio la base minore BC del trapezio rettangolo la formula sarà:
\[\overline {BC} = \left| {{x_B} - {x_C}} \right| = \left| {\frac{{k - 5}}{4} - 0} \right| = \left| {\frac{{k - 5}}{4}} \right|\] analogamente per le altre distanze...

Alla fine, una volta scritta l'equazione dell'area in funzione di k, dovrai uguagliarla a 21/8 e risolvere un'equazione con i valori assoluti per trovare tutte le possibili soluzioni per k.

Saluti.

PS: Per scrivere le formule in linea con il testo l'editor suggerisce come fare (scritta in rosso!). Sostituisci i marcatori iniziale e finale del codice LaTex prodotto con i simboli $. MathType lo puoi usare in versione demo per molti giorni.

[RBPope1938]

\[As= \frac{(\frac{5}{4}+\frac{k-5}{4})*k}{2}=\frac{21}{8}\]
\[\frac{4k^2}{4}=\frac{21}{4} \Rightarrow 4k^2-21=0 \Rightarrow \pm \sqrt{\frac{21}{4}}\]

Se considerassi l'area come negativa poco cambierebbe. Sto sbagliando in qualcosa?

[maurizio.schirinzi]

Si! ... l'area è per definizione un oggetto sempre positivo!! ... l'errore che commetti è nello scrivere l'area senza i termini (misure dei lati) in valore assoluto, e quindi non fai le dovute considerazioni di segno sull'apertura dei valori assoluti tenendo conto delle condizioni sul k imposte dal problema 0<k<5.
Infatti si ha:
\[A(k) = \frac{{(\frac{5}{4} + \left| {\frac{{k - 5}}{4}} \right|)\,\left| k \right|}}{2} = \frac{{21}}{8}\]
essendo $0 < k < 5$ possiamo riscrivere l'area aprendo i valori assoluti con le dovute considerazioni di segno
\[A(k) = \frac{{(\frac{5}{4} + \frac{{ - k + 5}}{4})\,k}}{2} = \frac{{10k - {k^2}}}{8} = \frac{{21}}{8}\;\]
da cui
\[{k^2} - 10k + 21 = 0\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
{k_1} = 3\;\;\;(ok)\\
{k_2} = 7\;\;\;(non\;accettabile)
\end{array} \right.\]
Saluti.

[RBPope1938]

Come gli asini, aprivamo sempre col valore positivo. Tutti i precedenti problemi li abbiamo risolti col K positivo, invece stavolta le cose cambiavano. Purtroppo il nostro prof si diverte a porci trabocchetti come mascherare gli studi di positività di un logaritmo come una disequazione logaritmica. Ormai disillusi, tendiamo a fissarci con le esecuzioni degli esercizi perdendo di vista il ragionamento.

Grazie di tutto. ci sentiremo presto. nel frattempo ho già condiviso il sito con i miei amici facebook.