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da **vinx91ct** » 11/01/2014, 19:27

Ciao, ripropongo un problema molto simile a questo (-> http://www.easymath.it/forum/viewtopic.php?f=31&t=767) da me postato. Molto simile perché, a differenza di quello, stavolta il valore di della costante k è compreso tra 0 e 2 ( $k \in (0,2) \ oppure \ k \in \ ]0,2[$ ).

Ecco il testo:

Siano date le rette $\overrightarrow{r}$ ed $\overrightarrow{s}$ aventi equazione rispettivamente, $y=-x+2$ e $y=k$ con $k \in (0,2)$ . Per quale valore di $k \in (0,2)$ , se esiste, l'area del trapezio delimitato da $\overrightarrow{r}$ , $\overrightarrow{s}$ , $\overrightarrow{x}$ , $\overrightarrow{y}$ vale $\frac{7}{8}$ ?

Non mi perderò in chiacchiere proprio perché lo svolgimento è molto simile a quello del problema precedente (vedi qui -> http://www.easymath.it/forum/viewtopic.php?f=31&t=767). Quindi, poniamo la retta $\overrightarrow{r}$ ed $\overrightarrow{s}$ a sistema

$\begin{cases} (\overrightarrow{r}): & y = -x+2\\ (\overrightarrow{s}): & y=k\end{cases} => \begin{cases} (\overrightarrow{r}): & y = -k+2\\ (\overrightarrow{s}): & y=k\end{cases} \rightarrow P (-k+2,k)$

Lo stesso calcolo verrà eseguito con tutti gli altri punti che vogliamo intersechino la retta x ed y, quindi:

$\begin{cases} (\overrightarrow{s}): & y = k\\ (\overrightarrow{x}): & x=0\end{cases} \rightarrow T (0,k)$

$\begin{cases} (\overrightarrow{r}): & y = -x+2\\ (\overrightarrow{y}): & y=0\end{cases} \rightarrow Q (2,0)$

$O (0,0)$

Sappiamo che l'area del trapezio è $\frac{(B+b) \times h }{2}$ , di conseguenza $\frac{( \overline{OQ} + \overline{TP} ) \times OT }{2}$ .

Adesso calcolo la distanza tra due punti mediante la nota formula (che non posto perché è presente nel link evidenziato precedentemente) e otteniamo:

$\overline{OQ}= \sqrt{ \big(2-0\big)^{2} + \big(0-0\big)^{2} } = 2$

$\overline{TP} = \sqrt{ \big(0-(-k+2)\big)^{2} + \big(k-k\big)^{2} } = k-2$

$\overline{OT} = \sqrt{ \big(0-0\big)^{2} + \big(k-0\big)^{2} } = k$

Tornando alla formula

$\frac{( \overline{OQ} + \overline{TP} ) \times OT }{2}$ $=> \frac{( 2 + (k-2) ) \times k }{2} = \frac{k^{2}}{2}$

A questo punto ricordiamo che il testo del problema chiede per quale valore di k, se esiste, l'area del trapezio vale 7/8, quindi eguagliamo la quantità a noi ancora sconosciuta con quella conosciuta allo scopo di capire quanto vale k se l'area del trapezio è pari a 7/8:

$\frac{k^{2}}{2} = \frac{7}{8}$

$k= \pm \sqrt{ \frac{7}{4} } = \pm \frac{ \sqrt{7} }{2}$

Ricordiamo ancora che il testo dice che $k \in (0,2)$ , quindi non può essere un numero negativo, al che $k \in \frac{ \sqrt{7} }{2}$

Quindi alla domanda: [...] per quale valore di $k \in (0,2)$ , se esiste, l'area del trapezio delimitato da $\overrightarrow{r}$ , $\overrightarrow{s}$ , $\overrightarrow{x}$ , $\overrightarrow{y}$ vale $\frac{7}{8}$ ?

La risposta è $\frac{ \sqrt{7} }{2}$ ?!

Il test mi dà le seguenti risposte:

$\Box \ 3/4$
$\Box \ Nessuna \ delle \ altre \ risposte \ => \ giusto \ ?$
$\Box \ 3/2$
$\Box \ 1/2$
$\Box \ 2/3$

da **maurizio.schirinzi** » 11/01/2014, 20:11

Bravissimo e complimenti innanzi tutto per il dettagliato post scritto in modo eccellente con il codice LaTex !!

Si !! ... se i calcoli sono tutti corretti (non li ho verificati perchè mi sembra che nel tuo caso non ce ne sia bisogno! :shock:

) allora la risposta giusta è quella che hai indicato!

A presto.

da **vinx91ct** » 11/01/2014, 20:21

O.k. perfetto. Grazie della conferma. A presto

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Determinare l'area del trapezio sapendo che un valore k è compreso tra 0 e 2

Determinare l'area del trapezio sapendo che un valore k è compreso tra 0 e 2

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