Determinare il valore dell' intercetta n (o q) avendo l'equazione di due rette e un punto
Inviato: 21/01/2014, 18:39Ciao, ho svolto questo problema ma vorrei capire se la soluzione è corretta. Il testo dice:
Siano date le rette r ed s di equazione, rispettivamente, y=2 e x=4. Sia inoltre t la retta di equazione y=mx+n, passante per P(-1;2) e tale che m>0. Per quale n appartenente ad r (
) l'area del trapezio formato dalle rette r,s,t e x vale 15?
Il mio svolgimento:
1) Si elimina un parametro, imponendo il passaggio per P (-1,2) tale che m>0
\[\left ( \underset{t}{\rightarrow} \right ):y=mx+n\]
\[\left ( \underset{t}{\rightarrow} \right ):2=-1m+n \Rightarrow n:2+m\]
Quindi
\[\left ( \underset{t}{\rightarrow} \right ):mx+2+m\]
2) Si rappresenta la retta t sapendo che passa per P e ha pendenza positiva (m>0, cioè va dal I al III quadrante).
3) Si rappresentano nel grafico le rette r ed s, le cui equazioni sono note dal testo del problema e annoto i punti trovati dalle due ultime equazioni. A questo punto mi ritrovo con il punto P(-1;2) (datomi dal testo), il punto L(4,0) (trovato dall'equazione s del testo) e il punto M (4,2) (trovato dall'equazione che mi dà il testo).
4) Matto a sistema l'equazione della retta t (prima trovata) con l'asse delle x (y=0) ed esplicito il tutto in funzione di x, per sapere qual è il punto di intersezione tra la retta t ed x e trovo
\[\left\{\begin{matrix} (t): y=mx+2+m & \\ (x):y=0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=(-2-m)/m& \\ & y=0\end{matrix}\right.\]
Ora posso tracciare il punto che chiamerò T di coordinate [(-2-m)/m;0] e che si trova nel secondo quadrante o meglio, a metà esatta tra secondo e terzo quadrante (perché il punto T interseca l'asse dell x e questo lo deduciamo dal coefficiente angolare della retta t che il testo ci dice essere positivo, cioè m>0).
Ora, il problema ci dice di trovare il termine noto. Innanzi tutto trovo l'area del trapezio così individuato.
\[A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=15\]
Ma io non so quanto vale la base maggiore proprio perché ho un'incognita come m che disturba il tutto, mentre io voglio dei numeri "puliti" (2, 45, 6, -3 ecc), ragion per cui io lascio invariata la base maggiore (cioè la scrivo come B) e mi trovo tutto il resto. Quindi
\[A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=15\rightarrow \frac{(B+5)\cdot 2}{2}=15\rightarrow 5B=15\Rightarrow B=3\]
Così facendo mi sono trovato la coordinata x del punto T di coordinate iniziali [(-2-m)/m;0], mentre adesso posso dire con certezza che le coordinate del punto T che interseca l'asse delle x sono (-3,0). Ho scritto appositamente -3 e non 3 perché se guardo il grafico mi accorgo che quel punto si trova (come detto prima) tra II e III quadrante, di conseguenza sarà necessariamente negativo.
Bene a questo punto ho individuato due punti T(-3;0) e P(-1;2). Essi sono due punti della retta t. Uso la formula della retta passante per due punti
\[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\rightarrow y-0=\frac{2}{2}(x+3)\Rightarrow y=x+3\]
E quindi n=3?!
Tutto il procedimento non mi convince. È giusto?
Siano date le rette r ed s di equazione, rispettivamente, y=2 e x=4. Sia inoltre t la retta di equazione y=mx+n, passante per P(-1;2) e tale che m>0. Per quale n appartenente ad r (
Il mio svolgimento:
1) Si elimina un parametro, imponendo il passaggio per P (-1,2) tale che m>0
\[\left ( \underset{t}{\rightarrow} \right ):y=mx+n\]
\[\left ( \underset{t}{\rightarrow} \right ):2=-1m+n \Rightarrow n:2+m\]
Quindi
\[\left ( \underset{t}{\rightarrow} \right ):mx+2+m\]
2) Si rappresenta la retta t sapendo che passa per P e ha pendenza positiva (m>0, cioè va dal I al III quadrante).
3) Si rappresentano nel grafico le rette r ed s, le cui equazioni sono note dal testo del problema e annoto i punti trovati dalle due ultime equazioni. A questo punto mi ritrovo con il punto P(-1;2) (datomi dal testo), il punto L(4,0) (trovato dall'equazione s del testo) e il punto M (4,2) (trovato dall'equazione che mi dà il testo).
4) Matto a sistema l'equazione della retta t (prima trovata) con l'asse delle x (y=0) ed esplicito il tutto in funzione di x, per sapere qual è il punto di intersezione tra la retta t ed x e trovo
\[\left\{\begin{matrix} (t): y=mx+2+m & \\ (x):y=0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=(-2-m)/m& \\ & y=0\end{matrix}\right.\]
Ora posso tracciare il punto che chiamerò T di coordinate [(-2-m)/m;0] e che si trova nel secondo quadrante o meglio, a metà esatta tra secondo e terzo quadrante (perché il punto T interseca l'asse dell x e questo lo deduciamo dal coefficiente angolare della retta t che il testo ci dice essere positivo, cioè m>0).
Ora, il problema ci dice di trovare il termine noto. Innanzi tutto trovo l'area del trapezio così individuato.
\[A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=15\]
Ma io non so quanto vale la base maggiore proprio perché ho un'incognita come m che disturba il tutto, mentre io voglio dei numeri "puliti" (2, 45, 6, -3 ecc), ragion per cui io lascio invariata la base maggiore (cioè la scrivo come B) e mi trovo tutto il resto. Quindi
\[A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=15\rightarrow \frac{(B+5)\cdot 2}{2}=15\rightarrow 5B=15\Rightarrow B=3\]
Così facendo mi sono trovato la coordinata x del punto T di coordinate iniziali [(-2-m)/m;0], mentre adesso posso dire con certezza che le coordinate del punto T che interseca l'asse delle x sono (-3,0). Ho scritto appositamente -3 e non 3 perché se guardo il grafico mi accorgo che quel punto si trova (come detto prima) tra II e III quadrante, di conseguenza sarà necessariamente negativo.
Bene a questo punto ho individuato due punti T(-3;0) e P(-1;2). Essi sono due punti della retta t. Uso la formula della retta passante per due punti
\[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\rightarrow y-0=\frac{2}{2}(x+3)\Rightarrow y=x+3\]
E quindi n=3?!
Tutto il procedimento non mi convince. È giusto?
