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Salve,
ho bisogno di aiuto con quest'equazione goniometrica da ricondurre ad una elementare:
\[cosx+cos\tfrac{x}{2}+1= 0\]

Ho applicato le formule di bisezione ottenendo due diversi casi, quello con \[+(\tfrac{1+cosx}{2})\] e quello con\[-(\tfrac{1+cosx}{2})\] entrambi sotto radice. Ho elevato tutto al quadrato per eliminare la radice ma quando vado a svolgere l'equazione di secondo grado ottengo un delta negativo.

I risultati dovrebbero essere: \[x= \pi +2k\pi \vee x=\tfrac{4}{3}\pi +4k\pi \vee x=\tfrac{8}{3}\pi +4k\pi\]

Ciao, \[\cos (x) + \cos (\frac{x}{2}) + 1 = 0\]
le formule di bisezione, non potendole utlizzare al quadrato, risultano in questo caso scomode da gestire!

Conviene invece utilizzare la formula di duplicazione del coseno nel seguente modo ...

ricordando la formula nelle sue 3 varianti
\[\cos (2\alpha ) = {\cos ^2}(\alpha ) - se{n^2}(\alpha ) = 2{\cos ^2}(\alpha ) - 1 = 1 - 2se{n^2}(\alpha )\]
essendo le formule goniometriche di tipo "adattative" è possibile riscriverla cosi
\[\cos (\alpha ) = {\cos ^2}(\frac{\alpha }{2}) - se{n^2}(\frac{\alpha }{2}) = 2{\cos ^2}(\frac{\alpha }{2}) - 1 = 1 - 2se{n^2}(\frac{\alpha }{2})\]
e utilizzando la 2° versione della formula scriveremo
\[\cos (x) = 2{\cos ^2}(\frac{x}{2}) - 1\]
la nostra equazione diventa
\[2\,{\cos ^2}(\frac{x}{2}) - 1 + \cos (\frac{x}{2}) + 1 = 0\]
\[2\,{\cos ^2}(\frac{x}{2}) + \cos (\frac{x}{2}) = 0\]
da cui raccogliendo e disaccoppiando con la legge di annullamento del prodotto si ha
\[\cos (\frac{x}{2})\,[2\cos (\frac{x}{2}) + 1] = 0\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
\cos (\frac{x}{2}) = 0\\
2\cos (\frac{x}{2}) + 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\]
quindi
\[\cos (\frac{x}{2}) = 0\;\;\; \to \;\;\;\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\; \to \;\;\;x = \pi + 2k\pi \]
e
\[\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}\;\;\; \to \;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = \frac{2}{3}\pi + 2k\pi \;\;\; \to \;\;\;x = \frac{4}{3}\pi + 4k\pi \buildrel \wedge \over = \frac{4}{3}\pi + 2k\pi \\
\frac{x}{2} = \frac{4}{3}\pi + 2k\pi \;\;\; \to \;\;\;x = \frac{8}{3}\pi + 4k\pi \buildrel \wedge \over = \frac{2}{3}\pi + 2k\pi
\end{array} \right.\]
dove ho indicato con il simbolo $\buildrel \wedge \over = $ l'equivalenza delle scritture rispetto al modello goniometrico di rappresentazione degli angoli ridotto al 1° giro e con periodicità multipla del 1° giro!


Saluti.