www.easymath.it

\[\sin (x)+(x)cos (x)\geq 0\]

Ciao,
sono un abbonato Easymath https://www.youtube.com/channel/UC3R5pvoasLrXK1EoM4iDKZQ

Non riesco a risolvere la disequazione. In generale puoi darmi indicazioni in merito, quando la x non è arco?
Grazie,
saluti

Ciao,
se provassi con il polinomio di Taylor? E' corretto sostituire le funzioni con i rispettivi sviluppi?

Ciao, \[sen(x) + x\cos (x) \ge 0\]
si tratta di una disequazione non elementare che non rientra nelle solite tipologie di cui abbiamo le relative tecniche risolutive algebriche-goniometriche a causa della presenza dell'incognita all'esterno delle funzioni goniometriche oltre che all'interno. In questi casi l'unico approccio sarà quello di tipo grafico e nel nostro caso con le seguenti modalità:

Per comodità limitiamoci all'intervallo $x \in [0,2\pi ]$ e raccogliamo forzatamente il coseno con l'opportuna condizione di diverso da zero:
\[\cos (x)\;[\,\frac{{sen(x)}}{{\cos (x)}} + x\,] \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\cos (x)\;[\,tg(x) + x\,] \ge 0\]
\[\cos (x) \ne 0\;\;\; \to \;\;\;x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \]
questi punti esclusi andranno poi valutati a parte direttamente nell'espressione iniziale della disequazione per comprendere il valore del segno!

Studiamo ora il segno dei singoli fattori dove il primo fattore del coseno ha uno studio di segno banale
\[\cos (x) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;x \in [0,\frac{\pi }{2}] \cup [\frac{3}{2}\pi ,2\pi ]\]
Per il secondo fattore affrontiamo uno studio grafico disaccoppiando la disequazione in un confronto disequativo tra due funzioni
\[tg(x) + x \ge 0\;\;\; \to \;\;\;tg(x) \ge - x\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
y = tg(x)\\
y = - x
\end{array} \right.\]
Rappresentiamo in uno stesso piano cartesiano le due funzioni, la tangente e la retta bisettrice del 2° e 4° quadrante, e a questo punto non sarà difficile rendersi conto per quali valori di x la tangente è al di sopra della bisettrice, e tali x saranno quelle che rispondono alla verifica della disequazione nella domanda di positività dello studio del segno; pertanto i restanti valori delle x saranno quelli di negatività. I punti di incrocio dei due grafici sono quelli che verificano l'annullamento del fattore di studio e quindi le soluzioni di verifica della parte equativa della disequazione. Riportando quindi i segni dei due fattori in un unico schema di segno e facendo il loro prodotto si ottiene nelle zone di positività la verifica della disequazione iniziale. In allegato il grafico delle due funzioni considerate.

Saluti.

Ok grazie.