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Qualcuno mi spiega passo-passo come arrivare a questa equazione:

\[\frac{\left ( x-\frac{2}{3} \right )^{2}}{\frac{16}{9}} + \frac{y^{2}}{\frac{4}{3}}=1\]


partendo da questa:
\[2\sqrt{x^{2 }+ y^{2}}=x+2\]

Ciao, dopo aver elevato al quadrato l'equazione occorre applicare la tecnica del completamento del quadrato del binomio per disaccoppiare i termini in x da quelli in y al fine di arrivare alla struttura dell'equazione dell'ellisse traslata. Ecco il procedimento:
\[2\sqrt {{x^2} + {y^2}} = x + 2\]
\[{(2\sqrt {{x^2} + {y^2}} )^2} = {(x + 2)^2}\]
\[4{x^2} + 4{y^2} = {x^2} + 4x + 4\]
\[3{x^2} - 4x + 4{y^2} = 4\]
\[3({x^2} - \frac{4}{3}x) + 4{y^2} = 4\]
\[3({x^2} - 2\frac{2}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) + 4{y^2} = 4\]
\[3[{(x - \frac{2}{3})^2} - \frac{4}{9}] + 4{y^2} = 4\]
\[3{(x - \frac{2}{3})^2} - \frac{4}{3} + 4{y^2} = 4\]
\[3{(x - \frac{2}{3})^2} + 4{y^2} = 4 + \frac{4}{3}\]
\[3{(x - \frac{2}{3})^2} + 4{y^2} = \frac{{16}}{3}\]
\[\frac{{3{{(x - \frac{2}{3})}^2}}}{{\frac{{16}}{3}}} + \frac{{4{y^2}}}{{\frac{{16}}{3}}} = 1\]
\[\frac{{{{(x - \frac{2}{3})}^2}}}{{\frac{{16}}{3}\frac{1}{3}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{{16}}{3}\frac{1}{4}}} = 1\]
\[\frac{{{{(x - \frac{2}{3})}^2}}}{{\frac{{16}}{9}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{4}{3}}} = 1\]
Saluti.

grazie..sai consigliarmi qualcosa dove viene spiegato per bene questo metodo del "completamento del quadrato"?

Certamente! ... ecco il procedimento generale dettagliato per trasformare un qualsiasi polinomio di secondo grado, che non si presenta come quadrato di un binomio, nella somma di un quadrato di un binomio (completando il quadrato) e un termine noto.

Raccogliendo il primo coefficiente e facendo apparire i termini mancanti per ottenere un quadrato si ha:
\[a{x^2} + bx + c = a[{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}] = \]
\[ = a[{x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + {(\frac{b}{{2a}})^2} - {(\frac{b}{{2a}})^2} + \frac{c}{a}] = \]
\[ = a[{x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a}] = \]
\[ = a[({x^2} + 2\frac{b}{{2a}}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}) + ( - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a})] = \]
\[ = a[{(x + \frac{b}{{2a}})^2} + (\frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4{a^2}}})] = \]
\[ = a[{(x + \frac{b}{{2a}})^2} - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}]\]
Saluti.