Ciao, \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{[\frac{1}{n} - sen(\frac{1}{n})]}^\alpha }}}{{{n^{2\alpha }} + 1}}} \]
analizzando l'asintotica del termine n-esimo e sviluppando con Taylor come hai detto si ha:
\[\frac{{{{[\frac{1}{n} - sen(\frac{1}{n})]}^\alpha }}}{{{n^{2\alpha }} + 1}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \frac{{[\frac{1}{n} - {{(\frac{1}{n} - \frac{1}{6}{{(\frac{1}{n})}^3}]}^\alpha }}}{{{n^{2\alpha }} + 1}} = \]
\[ = \frac{{{{[\frac{1}{6}{{(\frac{1}{n})}^3}]}^\alpha }}}{{{n^{2\alpha }} + 1}} = \frac{{{{(\frac{1}{6})}^\alpha }{{(\frac{1}{n})}^{3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }} + 1}} = {(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }} + 1}} = \]
\[ = \left\{ \begin{array}{l}
\alpha > 0\;\;\; \to \;\;\;{(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }} + 1}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } {(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }}}} = {(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{1}{{{n^{5\alpha }}}}\;\;\;(converge\;se\;5\alpha > 1\;\; \to \;\;\alpha > \frac{1}{5})\\
\alpha < 0\;\;\; \to \;\;\;{(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{{{n^{2\alpha }} + 1}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } {(\frac{1}{6})^\alpha }\frac{{{n^{ - 3\alpha }}}}{1}\;\;\; \to \;\;\;(diverge!)\\
\alpha = 0\;\;\; \to \;\;\;{(\frac{1}{6})^0}\frac{{{n^0}}}{{{n^0} + 1}} = 1\;\;\; \to \;\;\;(diverge!)
\end{array} \right.\]
Saluti.
PS: Si noti che non è una serie di funzioni bensì una serie di numeri reali! ... Lo User Admin provvederà a spostare questo post nella categoria più appropriata. Ti prego di fare più attenzione alle categorie dove si apre un topic! ... Grazie!
