Ciao,
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{( - 1)}^{\frac{{{n^2} + n}}{2}}}\frac{n}{{{2^n}}}} \]
in questa serie non c'è bisogno di utilizzare il criterio di Leibniz poichè si può dedurre la convergenza semplice da quella assoluta.
Infatti considerando la serie dei termini in valore assoluto si ha:
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left| {{{( - 1)}^{\frac{{{n^2} + n}}{2}}}\frac{n}{{{2^n}}}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{n}{{{2^n}}}} \]
e applicando a quest'ultima il Criterio del Rapporto
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{n + 1}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\frac{n}{{{2^n}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{(n + 1)\;{2^n}}}{{{2^{n + 1}}n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{(n + 1)\;{2^n}}}{{{2^n}\;2\;n}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 1}}{{2\;n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\;(1 + \frac{1}{n})}}{{2\;n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{2} = \frac{{1 + 0}}{2} = \frac{1}{2} < 1\;\;\; \to \;\;\;converge!\]
dunque la serie data converge assolutamente e pertanto converge anche semplicemente!
Saltuti.
