Ciao,
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2n + 1}}{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}} \]
prova a decomporre il termine n-esimo della serie nel seguente modo (aggiungendo e togliendo ${{n^2}}$ a numeratore e tagliando poi la frazione)
\[\frac{{2n + 1}}{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}} = \frac{{{n^2} + 2n + 1 - {n^2}}}{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}} = \frac{{{{(n + 1)}^2} - {n^2}}}{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}\]
per cui la serie diventa una serie telescopica
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{2n + 1}}{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {[\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}} ]\]
la cui convergenza e la somma si può calcolare come al solito scrivendo la successione delle somme parziali Sn, eliminando i termini opposti e calcolando il solito limite.
Saluti.
