Ciao, approssimando dapprima il seno al primo ordine e subito dopo l'esponenziale al secondo ordine ed infine il logaritmo al primo ordine, si ottiene un termine n-esimo equivalente a quello della serie data per n molto grandi da cui si può dedurre, staccando la costante 1/4, che il termine è quello di una serie armonica generalizzata con la potenza a denomitatore di grado 4 e quindi convergerte... dunque la serie data converge!
Di seguito i passaggi formali: \[\begin{array}{l}
{\ln ^2}({e^{\frac{1}{n}}} - \frac{1}{n} - sen(\frac{1}{{{n^2}}})) \approx {\ln ^2}({e^{\frac{1}{n}}} - \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}) \approx {\ln ^2}(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{2{n^2}}} - \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}) \approx \\
\approx {\ln ^2}(1 + \frac{1}{{2{n^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}) \approx {\ln ^2}(1 + \frac{{ - 1}}{{2{n^2}}}) \approx {[\ln (1 + \frac{{ - 1}}{{2{n^2}}})]^2} \approx {[\frac{{ - 1}}{{2{n^2}}}]^2} = \frac{1}{{4{n^2}}}
\end{array}\]
saluti
PS: L'argomento delle serie è sotto la sezione di Analisi 2. Lo User Admin provvederà a spostare il topic nella sezione più opportuna.
