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salve avrei bisogno del suo aiuto con questo esercizio:

Si studi la convergenza della serie:

\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{n^2}}}{{{n^3} - n + sen(n)}}(1 - \cos (\frac{1}{{{n^{3/4}}}}))} \]


grazie

Ciao,
\[\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{{n^2}}}{{{n^3} - n + sen(n)}}(1 - \cos (\frac{1}{{{n^{3/4}}}}))} \]
Studiamo il comportamento asintotico per ${n \to + \infty }$ dei termini della serie
\[\frac{{{n^2}}}{{{n^3} - n + sen(n)}}(1 - \cos (\frac{1}{{{n^{3/4}}}}))\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^3}}}(\frac{{1 - \cos (\frac{1}{{{n^{3/4}}}})}}{{{{(\frac{1}{{{n^{3/4}}}})}^2}}}){(\frac{1}{{{n^{3/4}}}})^2}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \]
\[\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n}(\frac{1}{2}){(\frac{1}{{{n^{3/4}}}})^2} = \frac{1}{{2n}}\frac{1}{{{n^{3/2}}}} = \frac{1}{2}\frac{1}{{{n^{5/2}}}}\;\;\; \to \;\;\;\sum {converge!} \]
ricordando ovviamente che la serie armonica generalizzata
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^{5/2}}}}} \;\;\;converge!\]
converge se l'esponente della potenza a denominatore è >1

Saluti.