Ciao, \[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{n^2}{4^n}}}{{{2^n} + {5^n}}}\cos (\frac{\pi }{4} + n\pi )} \]
innanzitutto si tratta di una normalissima serie numerica generale dove analizzando il termine n-esimo della serie si osserva che possiamo prima maggiorarlo con un termine senza il coseno (al posto del coseno mettiamo 1 il suo valore massimo!) (criterio del confronto disequativo) e poi successivamente analizziamo il comportamento asintotico del nuovo termine n-esimo maggiorante (criterio del confronto asintotico) per ricavare il comportamento della nostra serie da una serie notevole. Ecco tutti i passaggi:
\[\frac{{{n^2}{4^n}}}{{{2^n} + {5^n}}}\cos (\frac{\pi }{4} + n\pi ) \le \frac{{{n^2}{4^n}}}{{{2^n} + {5^n}}} = \frac{{{n^2}{4^n}}}{{{2^n}(1 + \frac{{{5^n}}}{{{2^n}}})}} = \]
\[ = \frac{{{n^2}{2^{2n}}}}{{{2^n}(1 + \frac{{{5^n}}}{{{2^n}}})}} = \frac{{{n^2}{2^n}}}{{1 + {{(\frac{5}{2})}^n}}}\mathop \sim \limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}{2^n}}}{{{{(\frac{5}{2})}^n}}} = {n^2}{(\frac{2}{{5/2}})^n} = \]
\[ = {n^2}{(\frac{4}{5})^n} = \frac{{{n^2}}}{{{{(\frac{5}{4})}^n}}}\;\;\; \to \;\;\;converge!\]
Ricordiamo infatti che la serie notevole del tipo
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{n^\alpha }}}{{{a^n}}}} \;\;\;converge\;con\;a > 1,\;\forall \alpha \in R\]
D'altra parte è facile dimostrare ciò con il criterio del rapporto; ecco di seguito la dimostrazione:
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{n^\alpha }}}{{{a^n}}}} \;\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{{{(n + 1)}^\alpha }}}{{{a^{n + 1}}}}}}{{\frac{{{n^\alpha }}}{{{a^n}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{(n + 1)}^\alpha }}}{{{a^{n + 1}}}}\frac{{{a^n}}}{{{n^\alpha }}} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{(n + 1)}^\alpha }}}{{{a^n}a}}\frac{{{a^n}}}{{{n^\alpha }}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{(n + 1)}^\alpha }}}{a}\frac{1}{{{n^\alpha }}} = \frac{1}{a}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{(n + 1)}^\alpha }}}{{{n^\alpha }}} = \]
\[ = \frac{1}{a}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(\frac{{n + 1}}{n})^\alpha } = \frac{1}{a}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(1 + \frac{1}{n})^\alpha } = \frac{1}{a} < 1\;\;\;(se\;a > 1)\]
dunque possiamo concludere che
\[\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{n^\alpha }}}{{{a^n}}}} \;\;\;converge\;con\;a > 1,\;\forall \alpha \in R\]
Saluti.
PS: Poichè la serie proposta in questo topic è una normale serie numerica, essa andrebbe classificata nella categoria più appropriata delle "Serie di Numeri Reali". Lo User Admin provvederà allo spostamento di questo topic!
