\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{(\frac{{{n^3} - \alpha n + 1}}{{{n^3}}})}^{{n^3}}}} \]
Applicando il criterio della radice si ha:
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt[n]{{{{(\frac{{{n^3} - \alpha n + 1}}{{{n^3}}})}^{{n^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(\frac{{{n^3} - \alpha n + 1}}{{{n^3}}})^{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(1 + \frac{{1 - \alpha n}}{{{n^3}}})^{{n^2}}} = \\
= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(1 + \frac{{n(\frac{1}{n} - \alpha )}}{{{n^3}}})^{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(1 + \frac{{\frac{1}{n} - \alpha }}{{{n^2}}})^{{n^2}}} \cong \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(1 + \frac{{ - \alpha }}{{{n^2}}})^{{n^2}}} = {e^{ - \alpha }} =
\end{array}\]
\[ = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{{e^\alpha }}} < 1\;\;\;(converge!)\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;\alpha > 0\\
{e^{ - \alpha }} > 1\;\;\;(diverge!)\;\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;\alpha < 0\\
1\;\;\;(??????)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;\alpha = 0
\end{array} \right.\]
Per il caso $\alpha = 0$, poichè il criterio della radice fallisce, occorre analizzare a parte il comportamento della serie; sarà sufficiente verificare la condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie. Calcolando il limite del termine n-esimo della serie ci si accorge che non fa zero e dunque la serie diverge:
\[\alpha = 0\;\;\; \to \;\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{(\frac{{{n^3} - \alpha n + 1}}{{{n^3}}})}^{{n^3}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{(\frac{{{n^3} + 1}}{{{n^3}}})}^{{n^3}}}} \]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(\frac{{{n^3} + 1}}{{{n^3}}})^{{n^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {(1 + \frac{1}{{{n^3}}})^{{n^3}}} = e \ne 0\;\;\; \to \;\;\;diverge!!\]
Saluti.
grazie mille in anticipo..
